対称群
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| 代数的構造 → 群論 群論 |
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対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。置換群が空間 X の変換群として与えられているとき、X の元 x の置換は Stab(x) = {σ ∈ SX | σx = x} で与えられる SX の部分群の分だけ潰れているが、これは X のなかに x と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、X の中でこれらを区別することができれば X の元の置換から対称群 SX が回復される。
定義
集合 In = {1, 2, …, n} に対し、In から In への全単射全体の集合は写像の合成を積として群になることがわかる。これは n-次の対称群と呼ばれ、
置換群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 05:53 UTC 版)
初めて系統的な研究のなされた群のクラスは置換群である。任意の集合 X と、X からそれ自身への全単射（置換とも呼ばれる）の集まり G で合成と反転に関して閉じているようなものが与えられたとき、G は X に作用する群であるという。 X がn 個の元からなり、G が置換全体からなるならば、G は n-次対称群 Sn と呼ばれる。一般の置換群 G は X の対称群のある部分群となっているものをいう。ケイリーによる初期の構成では、任意の群は（左正則表現の意味で）X = G として自分自身に作用する置換群として提示された。 多くの場合、置換群の構造は対応する集合への作用の性質を用いて調べられる。例えば、n ≥ 5 に対する交代群 An が単純群である。つまり、真の正規部分群を持たない。次の方法で示すことができる。An が単純であるという事実は、高次一般代数方程式の根の冪根による表示の不可能性において重要な役割を果たす。
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