冪零群

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冪零群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/02/15 10:05 UTC 版)

代数的構造 → 群論 群論
基本概念 部分群 正規部分群 商群 （半）直積 群準同型 核 像 直和 リース積 単純 有限 無限 連続 乗法 加法 巡回 アーベル 二面体 冪零 可解 群論の用語 群論のトピックス一覧
有限群 有限単純群の分類 巡回 交代 自明 リー型 散在 コーシーの定理 ラグランジュの定理 シローの定理 ホールの定理 p 群 基本アーベル群 フロベニウス群 シューア乗数 対称群 Sn クラインの四元群 V 二面体群 Dn 四元数群 Q8 二重巡回群 Dicn
離散群 格子 整数 (Z) 格子 モジュラー群 PSL(2, Z) SL(2, Z)
位相 / リー群 ソレノイド 円周 一般線型 GL(n) 特殊線型 SL(n) 直交 O(n) ユークリッド E(n) 特殊直交 SO(n) ユニタリ U(n) 特殊ユニタリ SU(n) 斜交 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 ローレンツ ポアンカレ 共形 微分同相 ループ 無限次元リー群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
代数群 楕円曲線 線型代数群 アーベル多様体
表 話 編 歴

群論における冪零群（べきれいぐん、英: nilpotent group）は、「ほとんど」アーベルな群である。この概念は、冪零群が可解群となるという事実に裏打ちされ、有限冪零群に対して位数が互いに素な二元は可換となる。有限冪零群はさらに超可解でさえある。冪零群の概念の創始は1930年代におけるロシア人数学者セルゲイ・チェルニコフの業績に帰せられる。

冪零群はガロワ理論において、また群の分類理論において、用いられる。あるいはまた、リー群の分類においても顕著である。

冪零あるいは降中心列・昇中心列といった用語は、（導来群を作る操作を、リー括弧積で代用した類似概念を用いて）リー環の理論においても用いられる（冪零リー環の項を参照）。

定義

考えている群が冪零であるとは、以下の同値な条件の何れか（したがってすべて）を満足するときに言う:

• 有限の長さの中心列を持つ。それはすなわち、正規部分群からなる有限の系列 $$\{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G$$
  よく知られた冪零群の例である離散ハイゼンベルク群のケイリーグラフの一部
  • 既に述べたように、任意のアーベル群は冪零である。
  • 小位数の非アーベルな例として、最小の非アーベル p-群である四元数群 Q₈ を挙げることができる。その中心は位数 2 の {1, −1} であり、昇中心列 {1}, {1, −1}, Q₈ が得られるから、これは冪零度 2 の例ということになる。
  • 実は任意の有限 p-群が冪零である。位数 pⁿ の p-群に対し、最大の冪零度は n - 1 である。冪零度最大の 2-群は、四元数群、二面体群あるいは半二面体群の一般化と考えられる。
  • 二つの冪零群の直積はまた冪零である。
  • 逆に、任意の有限冪零群は p-群の直積になる。
  • ハイゼンベルク群は非アーベル無限冪零群の例である。
  • 任意の体 F 上の n-次冪単行列（単上三角行列）全体の成す乗法群は、冪零度 n − 1 の冪零（代数）群である。
  • F 上の n-次正則上三角行列全体の成す乗法群は一般には冪零群でない（が、可解群ではある）。

  用語の説明

  冪零群の名称は、それが任意の元による「随伴作用」が冪零となることによる。つまり、冪零度 n の冪零群に対して、その元 g の定める作用 $$\operatorname {ad} _{g}\colon G\to G;\;x\mapsto \operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]$$

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その他

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