群論における交換子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/04 03:05 UTC 版)
群 G の二つの元 g, h の交換子は [g, h] = g−1h−1gh あるいは [g, h] = ghg−1h−1 で定義される（文献によって異なる。群論の専門家は上の方をよく使う[要出典]）。交換子がその群の単位元 1 に等しいことと、g と h が互いに可換（つまり gh = hg）となることとは同値である。G のすべての交換子から生成される G の部分群を、G の導来群 (derived group) または交換子群と呼び、［G, G］ あるいは G′ と表記する。注意すべきは、一般には交換子は群演算について閉じていないので、交換子全体の成す集合 { ［x, y］｜x, y ∈ G } そのものではなく、それで生成される部分群 〈 ［x, y］｜x, y ∈ G 〉 を考えなければならないことである。交換子の概念は、冪零群や可解群の定義に用いられる。 ［G, G］ = 〈 ［x, y］｜x, y ∈ G 〉.
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