群表現の記法と語法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/22 14:52 UTC 版)
群の元は行列として表現することができる。この文脈で「表現する」というのは特定の明確な意味を持つことに注意すべきである。群の表現は、群の元全体の成す集合から行列の成す一般線型群への写像のことを言う。記法として、G の元はラテン小文字 a, b, c, … で表し、群の乗法は記号を省略して G の元 ab とは a と b との積のこととする。表現を D とするとき、群の元 a の表現行列は D ( a ) = ( D ( a ) 11 D ( a ) 12 ⋯ D ( a ) 1 n D ( a ) 21 D ( a ) 22 ⋯ D ( a ) 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ D ( a ) n 1 D ( a ) n 2 ⋯ D ( a ) n n ) {\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}} の形に書ける。群の表現の定義により、群の元の積の表現行列は D ( a b ) = D ( a ) D ( b ) {\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)} として各元の表現行列の積に翻訳される。群の単位元 e（即ち ae = ea = a を満たす元）に対し、D(e) は単位行列あるいは同じことだが単位行列からなるブロック行列にならなければいけないことが、 D ( e a ) = D ( a e ) = D ( a ) D ( e ) = D ( e ) D ( a ) = D ( a ) {\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)} から分かる（群の他の元についても同様である）。
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