群論における対応定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/06/16 20:50 UTC 版)
核 N をもつ全射群準同型写像 φ: G → H を考える。このとき対応 U ↦ φ ( U ) {\displaystyle U\mapsto \varphi (U)} V ↦ φ − 1 ( V ) {\displaystyle V\mapsto \varphi ^{-1}(V)} はその逆写像である。このとき正規部分群は正規部分群に（いずれの方向にも）対応する。 この主張を G/N ≅ H の場合に特殊化することで G/N の（正規）部分群は N ≤ U ≤ G を満たす（正規）部分群 U を用いて U/N と表されるものにちょうど一致することがわかる。この対応は単調である——つまり部分群 N ≤ U1, U2 ≤ G に対して U1 ≤ U2 となるのは U1/N ≤ U2/N となるとき、かつ、そのときに限る。 もし G/N が単純群ならば正規部分群 N は正規部分群のなかで極大である。
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