群論的取扱い

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群論的取扱い

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 13:51 UTC 版)

「置換 (数学)」の記事における「群論的取扱い」の解説

詳細は「対称群」を参照 群論においてある集合上の置換は、その集合からその集合自身の上への全単射を言う。任意に与えられた集合の上の置換全体の成す集合は、写像の合成を積として、恒等変換を単位元とする群を成し、これを S の対称群と呼ぶ。対称群は、同型を除いてその集合の濃度のみに依存して決まり、S の元の具体的な特徴がどうであるかは群構造に影響を与えない。対称群は有限集合上のものを考えることがほとんどで、この場合には適当な自然数 n に対して S = {1, 2, …,n} であるとして一般性を失わない。こうして n 次の対称群 Σn が定まる。 対称群の任意の部分群を置換群と呼ぶ。ケイリーの定理により、実は任意の群が何らかの置換群に同型であり、特に有限群は何らかの有限対称群の部分群に同型であることがわかる。しかし置換群は、抽象群よりも多くの構造を持つものであり、たとえば置換群の任意の元には巡回置換型を定義することができるが、置換群として実現されたのではない群がこれと同値な付加構造をもつことは必ずしも求められない。例えば、Σ3 は自然に置換群となり、その任意の互換は巡回型が (2,1) となるが、ケイリーの定理の証明に従って Σ3 を Σ6 の部分群として（つまり、Σ3 自身に属する全 6 個の元の置換として）実現すれば、この置換群での互換の巡回置換型は (2, 2, 2) になる。つまり、ケイリーの定理の成立にも拘らず、置換群の研究は抽象群の研究とは異なる部分を持っているということになる。