群 (数学)
 | この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 (2015年9月) |
| 代数的構造 → 群論 群論 |
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| 代数的構造 |
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数学、特に抽象代数学における群（ぐん、英: group）とは、一つの集合と、その集合上に閉じて定義された一つの二項演算で構成される組（代数的構造）であり、ただしその二項演算は結合法則、単位元、逆元を全て有する。マグマの分類の一つである。
数学において最も基本的と見なされる代数的構造の一つであり、数学や物理学全般において、さまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。群はそれ自体が研究対象であり、その領域は群論と呼ばれる。
定義
集合 G とその上の二項演算 μ の組 (G, μ) が下の四つの条件を満たすとき、(G, μ) を群という。
基本的な有限群のクラスがなす階層 群 G が、G の部分群の有限列 G0, G1, ..., Gn で 2 条件
| 典拠管理データベース: 国立図書館 |
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抽象群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 05:53 UTC 版)
群論の発展の初期段階では、群としては、数、置換、行列などによって実現される「具体的」なものばかりが考察の対象であった。特定の公理系を満たす演算を備えた集合としての「抽象群」の概念が根付き始めるのは、19世紀後半になってからのことである。抽象群を特定する典型的な方法のひとつは、生成元と基本関係による表示 G = ⟨ S ∣ R ⟩ {\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle } を通して与えられる。抽象群を与えるための最も重要な方法は、群 G とその正規部分群 H による商群あるいは剰余群と呼ばれる群 G/H を構成する操作である。代数体上のイデアル類群は早くから扱われてきた剰余群の例であり、数論において非常に重要である。群 G が集合 X 上の置換群であるとき、その剰余群 G/H はもはや X に作用しないものだが、抽象群を考えることによってこのような問題を心配する必要も無くなる。 具体的な群から抽象群へ視点を移すことにより、その群がどのように実現されているかということとは無関係に（現代的な言葉で言えば、同型のもとで不変な）群の性質について考察することが自然なものとなった。またこのような性質による群の分類も、有限群、捩れ群、単純群、可解群などといったものが考えられる。また、個々の群の性質を探ることよりも、群のクラスに対して広く適用できるような結果を確立する方法が求められた。このような新しいパラダイムは、数学の発展に対して傑出した重要性を持つものであり、ダフィット・ヒルベルト、エミール・アルティン、エミー・ネーターおよび彼らに師事した数学者たちによって、抽象代数学が構築されていく前兆となるものであった。
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