可解群

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可解群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/10/05 08:18 UTC 版)

代数的構造 → 群論 群論
基本概念 部分群 正規部分群 商群 （半）直積 群準同型 核 像 直和 リース積 単純 有限 無限 連続 乗法 加法 巡回 アーベル 二面体 冪零 可解 群論の用語 群論のトピックス一覧
有限群 有限単純群の分類 巡回 交代 自明 リー型 散在 コーシーの定理 ラグランジュの定理 シローの定理 ホールの定理 p 群 基本アーベル群 フロベニウス群 シューア乗数 対称群 Sn クラインの四元群 V 二面体群 Dn 四元数群 Q8 二重巡回群 Dicn
離散群 格子 整数 (Z) 格子 モジュラー群 PSL(2, Z) SL(2, Z)
位相 / リー群 ソレノイド 円周 一般線型 GL(n) 特殊線型 SL(n) 直交 O(n) ユークリッド E(n) 特殊直交 SO(n) ユニタリ U(n) 特殊ユニタリ SU(n) 斜交 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 ローレンツ ポアンカレ 共形 微分同相 ループ 無限次元リー群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)
代数群 楕円曲線 線型代数群 アーベル多様体
表 話 編 歴

数学、特に群論において、可解群（かかいぐん、英: solvable group、イギリス英語: soluble group、独: Auflösbare Gruppe）とは、導来列が有限項で自明な部分群に達する群のことである。これはアーベル群から群の拡大を有限回用いて構成できる群と言い換えることもできる。

歴史的には、「可解」という語はガロア理論による5次以上の一般の方程式は代数的に解けないこと（アーベル–ルフィニの定理）の証明から来ている。特に、標数0の体上の代数方程式が根号を用いて解けるのは対応するガロア群が可解群であるとき、およびそのときに限る。

定義

群 G が、すべての因子が可換であるような連正規列をもつとき可解群という。つまり部分群の列

${\\displaystyle G=G_{0}\\geq G_{1}\\geq \\dotsb \\geq G_{n}=1}$

対称群 S₄ の部分群がなす束。導来列が ${\\displaystyle S_{4}\\triangleright A_{4}\\triangleright {C_{2}}^{2}\\triangleright 1}$

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Hall (1928) は G が有限可解群で π が素数からなる任意の集合とするとき、G がホール π-部分群を持ち、任意の二つのホール π-部分群が互いに共軛となることを示した。さらに言えば、π に属する素数の積を位数に持つ任意の部分群は、適当なホール π-部分群に含まれる。この結果は、G が可解群ならば、シローの定理のホール部分群に対する一般化と考えることができる。

この定理の逆は、「素数からなる任意の集合 π に対してホール π-部分群を持つ任意の有限群は可解である。」というものである。これは、シローの定理が任意のホール部分群の存在を導くから、位数が素数 p, q に対する p^aq^b の形に書ける任意の群が可解であることを述べるバーンサイドの定理の一般化である。

フェイト・トンプソンの定理

フェイト・トンプソンの定理（奇数位数定理）によればすべての奇数位数の有限群は可解群である。特に、有限群が単純群であれば、それは素数位数の巡回群か偶数位数である。

シュライアー予想

有限単純群の外部自己同型群は可解群である。

関連する概念

超可解群

可解性よりも強い条件として、群Gは不変正規列（連正規ではない正規列）を持ち、その因子群がすべて巡回群であるとき、超可解群(supersolvable group)であるという。つまり、

${\\displaystyle G=G_{0}\\trianglerighteq G_{1}\\trianglerighteq \\dotsb \\trianglerighteq G_{n}=1}$

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