関連する群のクラス
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 15:43 UTC 版)
群 G がアーベル群となる必要十分条件は、導来部分群が自明となること（[G, G] = {e}）である。これは G がそのアーベル化と等しいことと言ってもよい。 群 G が完全群（英語版）となる必要十分条件は、導来部分群が群全体と等しいこと（[G, G] = G）である。これは群のアーベル化が自明となることと言ってもよい。これは上記のアーベル群の場合と「逆」になっている。 適当な n ∈ N に対して、n 次導来部分群が G(n) = {e} となるような群は可解群と呼ばれる。n = 1 のときはアーベル群であるから、可解群はアーベル群の性質を拡張した概念と考えることができる。 任意の n ∈ N に対して、n 次導来部分群がG(n) ≠ {e} となる群は非可解群と言う。 適当な順序数（無限でもよい）α に対して G(α) = {e} となるような群は超アーベル群（英語版） (hypoabelian group) と言う。これは可解であることよりも弱い（α が有限順序数、つまり自然数ならば可解）。
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