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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/18 06:01 UTC 版)

「オーレの定理」の記事における「関連する結果」の解説

オーレの定理は（ハミルトン路に関する）ディラックの定理（英語版）： どの頂点の次数も n/2 以上であるようなグラフは、ハミルトングラフである。 を一般化したものである。ディラックの定理の条件が満たされていれば、明らかにどの2頂点の次数の和も n 以上になる。 一方、オーレの定理は Bondy–Chvátalの定理（英語版）へと一般化される。グラフの閉包（closure）を、次数の和がグラフの頂点数 n 以上である任意の隣接しない2頂点間に1本の辺を追加する操作、と定義する。このとき Bondy–Chvátalの定理は グラフがハミルトングラフであるための必要十分条件は、その閉包がハミルトングラフであることである。 という主張である。グラフがオーレの定理の条件を満たしていれば、その閉包は完全グラフであり、完全グラフはハミルトングラフであるから、オーレの定理は Bondy–Chvátalの定理よりただちに従う。 Woodall (1972) は、オーレの定理の有向グラフに適用できるバージョンを発見した。有向グラフ G が次の条件を満たすとする：任意の2頂点 u と v に対し、u から v へ向かう辺が存在するか、もしくは u の出次数と v の入次数の和が G の頂点数以上である。 このとき G には有向ハミルトンサイクルが存在する（Woodallの定理）。オーレの定理は、与えられた無向グラフの全ての辺を両方向の2本の有向辺で置き換えれば、Woodallの定理から得ることができる。Meyniel (1973) による、これと深く関連した定理は以下の通りである： n-頂点の強連結有向グラフで、任意の隣接しない2頂点 u, v に対し、u と v の少なくとも一方に接続する辺の本数が 2n − 1 以上であるものは、ハミルトングラフである。 次数に関する条件から、オーレの定理の結論は、ハミルトン性よりも強くすることができる。特に、オーレの定理の条件を満たすグラフは正則な完全2部グラフか、パンサイクリックグラフ（英語版）かのいずれかである (Bondy 1971)。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/29 18:13 UTC 版)

「デデキントの補題」の記事における「関連する結果」の解説

同じくデデキントに帰せられる、関連した結果がある。 L を K の拡大体とし、 K の元を固定する L の自己同型群 Γ が有限群であるとする。 このとき [ L : K ] = | Γ | Karpfinger と Meyberg はこの命題を「デデキントの定理」と呼んでいる。英語の代数学の文献（例えば Paul Cohn）では、数学者エミール・アルティンとの関連からアルティンの定理としても知られている。ただし Cohn は、命題の実際の考案者はアルティンではなくデデキントであることを明示している。 Kurt Meyberg は "Algebra"(Teil 2) の中で「アルティンの定理」について述べているが、これはまた別の（しかしながら上記の命題と深く関連した）アルティンによる結果で、以下の内容である。 L と K が可換体で、 L / K が有限次拡大のとき、以下の主張は同値である。 (A) L / K はガロア拡大である。 (B) [ L : K ] = | A u t ( L / K ) | (C) L / K は正規拡大で、かつ分離拡大である。 (D) L はある K 係数分離多項式の K 上の最小分解体である。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/25 06:47 UTC 版)

「クレイン＝ミルマンの定理」の記事における「関連する結果」の解説

K に関する以前の仮定の下で、 T が K の部分集合であり、 T の閉凸包が K 全体であるなら、 K のすべての極点は T の閉包に属する。この結果はクレイン＝ミルマンの定理に対する、ミルマンの（部分的）逆（Milman's partial converse）として知られている。 ショケー＝ビショップ＝デリューの定理（英語版）によると、 K 内のすべての点は、 K の極点の集合上に台を持つ確率測度の重心であることが示されている。 テオ・ビューラーは2006年に、クレイン＝ミルマンの定理は CAT(0) 空間に対しても成立することを証明した。