グラフとは? わかりやすく解説

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グラフ

研究結果発表において論点図解するために、グラフ表示 1ないし図示 1の手法を用いことがあるデータは図 2、グラフ 2統計図表 2、または地図 3によって示される変数間の関係の図式的表示は、たとえばレキシスの図式レキシス・ダイアグラム)(437参照)のように、図式ダイアグラム) 4呼ばれることが多い。一方座標軸対数的に他方等間隔に目盛られたグラフは片対数グラフ 5呼ばれるが、そのようなグラフは対数グラフ 5不正確ないい方呼ばれることが多い。真の対数グラフ 6両方の軸が対数的に目盛られたもので、両対数グラフ 6呼ばれることもある。度数分布グラフ表示には、階級度数表示する点を直線で繋ぐことによって得られる度数多角形 7階級間隔底辺とする長方形の面積によって階級度数表示される柱状図ヒストグラム) 8階級度数が棒の長さ比例する棒グラフ 9累積度数分布を表す累積度数分布図オージャイブ) 10などがある。


グラフ (QC七つ道具の)


グラフ (グラフ理論の)

読み方:ぐらふ
【英】:graph

概要

グラフは, 点の集合V\,, 集合A\,および各a\in A\,始点終点指定する2つ写像\partial^+: A \to V\,\partial^-: A \to V\,からなる複合概念であり, グラフG=(V,A;\partial^+,\partial^-)\, (あるいは (V,A)\, )のように記される. グラフは平面上に, 点を丸で, を矢線で描き, 幾何学的に表現される. a\,の矢線の始点\partial^+a\,を, 終点\partial^-a\,を表す. の方向を考慮する場合有向グラフ, 考慮しない場合無向グラフ呼び区別する.

詳説

 グラフ (graph)は,点の集合V\, 集合A\, および各a\in A\, 始点終点指定する二つ写像\partial^+: A \to V\, \partial^-: A \to V\, からなる複合概念であり,グラフG=(V,A;\partial^+,\partial^-)\, のように記されるまた,しばしばG=(V,A)\, のように略記される.グラフは平面上に,点を丸でを矢線で描き幾何学的に表現されるa\, の矢線の始点\partial^+a\, を,終点\partial^-a\, 表している.u=\partial^+a\, v=\partial^-a\, であるとき,a\, は点u\, から点v\, へのといわれるすべての2点u\, , v\, に対してu\, から点v\, への高々1本だけであるとき, 点u\, から点v\, へのがあればそれを(u,v)\, のように点の順序対表現することも多い.これからも分かるようにグラフはその点集合上の2項関係を表すものである考えることができる様々なシステム構造捕らえるとき, それらのシステムの構成要素間の2項関係を考えることはもっとも基本的であり, モデル化容易である(u,v)\, u\, からv\, へのものの流れ(の存在)を表現したり, u\, からv\, への因果関係通信ケーブル道路などのリンクの存在などを表現したりする.日常的に用いられる「・・・ネットワーク」や「・・・網」といわれるものはグラフ構造を持つものである

 取り扱問題によっては, 各始点終点がどちらであるか気にしない(すなわち対称な2項関係を考える)こともある.このようなとき,平面上の幾何学的表現では各表現する矢線から矢印取って,そのグラフを表現するこのようなグラフは無向グラフ (undirected graph) と呼ばれる最初に定義した通常のグラフを無向グラフ対比して示したいとき, これを有向グラフ (directed graph あるいは digraph) という.グラフの用語については,日本語および英語の両方とも,必ずしも統一されていない.点は,頂点節点とも呼ばれは,辺,弧,線などとも呼ばれる英語では,点はvertex, node, edge, arc などがよく用いられるに対し有向グラフarc, 無向グラフedge用い流儀もある).グラフの(や点)にそれに付随する容量長さ費用などの属性付与してグラフ中のものの流れなどを考え場合, これをネットワーク (network) と呼ぶ

 グラフG=(V,A)\, 上のu\, から点v\, の向き無視して接続する点とたどって到達できるとき,たどる順に得られる点と交互列を点u\, から点v\, への道(あるいは路)(path) という.その道上のがたどる向きにすべて揃っているとき,そのような道を有向道(あるいは有向路)(directed path)という.道および有向道は,少なくとも1本含み, その始点終点一致するとき,閉路(closed path (cycle))および有向閉路(directed closed path (directed cycle))呼ばれる平面上に交差させることなく幾何学的に表現することが可能なグラフを平面グラフ (planar graph) という.閉路含まない連結なグラフを木 (tree)という.グラフG\, 点集合v\, のある2分割\{U,W\}\, 存在して,各U\, 点とW\, 点を結ぶとき,このグラフG\, 2部グラフ (bipartite graph) という.U\, W\, の点の数がそれぞれm\, n\, であってU\, 各点W\, 各点を結ぶが丁度1本存在するとき,この2部グラフ完全2部グラフと言い, {\rm K}_{m,n}\, のように表す.グラフG\, 自己閉路1本からなる閉路)を含まず, そのすべての相異なる2点に対してそれらを結ぶ丁度1本存在するとき,このグラフを完全グラフ (complete graph)(あるいは完備グラフ)という.ここで,V\, の点の数がn\, であるとき,これをn\, 完全グラフ呼び, {\rm K}_n\, のように表す.

 二つのグラフG_1=(V_1,A_1;\partial^+_1,\partial^-_1)\, G_2=(V_2,A_2;\partial^+_2,\partial^-_2)\, に対して, グラフG_1\, 点と接続関係保ったままV_1\, 各点の名前(ラベル)を変えてV_2\, とし,同時にA_1\, の各の名前(ラベル)を変えてA_2\, としてグラフG_1\, からグラフG_2\, を得ることが可能であるとき, これらの二つのグラフは同形である (isomorphic)という.また,二つのグラフG_1=(V_1,A_1;\partial^+_1,\partial^-_1)\, G_2=(V_2,A_2;\partial^+_2,\partial^-_2)\, に対して, V_2\subseteq V_1\, , A_2\subseteq A_1\, であり,\partial^+_2\, \partial^+_1\, を,\partial^-_2\, \partial^-_1\, を,それぞれA_2\, 上に制限したものになっているとき, グラフG_2\, をグラフG_1\, 部分グラフという.与えられたグラフG\, 幾何学的表現から,いくつかの消しいくつかの孤立して残る点を消して得られる幾何学的表現対応するグラフが元のグラフG\, 部分グラフである.



参考文献

[1] C. Berge, Graphes et Hypergraphes, Dunod, 1970. 伊理正夫 他 訳,『グラフの理論, IIII』, サイエンス社,1976.

[2] J. A. Bondy and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, North-Holland, 1976.

[3] R. Diestel, Graph Theory, 3rd ed., Springer, 2005. 根上生也太田克弘 訳, 『グラフ理論』, シュプリンガー・フェアラーク東京2000

[4] F. Harary, Graph Theory, Addison-Wesley, 1969. 池田貞雄 訳,『グラフ理論』, 共立出版,1971.

[5] 伊理正夫, 藤重悟, 大山達雄,『グラフ・ネットワーク・マトロイド』,産業図書,1986.


グラフ

方言 意味
グラフ グー)、トランプクラブ


グラフ

名前 GraffGrafGlafGraafGraef

グラフ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/18 04:45 UTC 版)

チャートも参照。




「グラフ」の続きの解説一覧

グラフ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/04/11 07:26 UTC 版)

ゴニンカン」の記事における「グラフ」の解説

クラブのこと。

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グラフ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/06 14:32 UTC 版)

第二次世界大戦の犠牲者」の記事における「グラフ」の解説

各国別の死者数人口あたりの割合軍人と民間人犠牲者数第二次大戦中連合国軍枢軸国軍軍人民間人死者数 枢軸国軍軍人人的損失 同盟戦線、年度毎連合軍枢軸軍軍人人的損失

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グラフ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/12 14:26 UTC 版)

グラフ (離散数学)」の記事における「グラフ」の解説

グラフ(有向グラフ区別して無向グラフ」とか、多重グラフ区別して単純グラフ」とも呼ばれたりもする)とは順序対 G = (V, E) である。ここで V は頂点 (vertex) と呼ばれる元の集合、E は頂点の対の集合でありその元は辺 (edge) と呼ばれる。 辺 {x, y} に含まれる頂点 xとy は、その辺の「端点」と呼ばれる。辺は頂点 x と y を「結び (join)」、x や y に「接続する (incident)」と言い表す。頂点いかなる辺にも含まれないこともありその場合は他のどの頂点とも結ばれていない。 頂点それ自身と結ぶ辺である「ループ自己ループとも)」を許すグラフもある。このように一般化されたグラフは「ループ付きグラフ (graphs with loops)」と呼ばれる文脈からループを許すことが自明な場合は単にグラフと呼んだりもする。 「多重グラフ (multigraph) 」とは、2つ頂点間に複数の辺がある「多重辺」を許すように一般化したグラフである。一部テキストでは、多重グラフのことを単にグラフと呼んでいたりもする。多重辺を許すにあたり上述の辺に関する義を頂点対の(通常の集合ではなく頂点対の多重集合変更する必要がある一般に頂点 V の集合有限集合想定されており、これはまた辺の集合有限集合ということ意味する時には「無限グラフ (Infinite graph) 」が考慮されることもあるが、殆どの場合は特別な種類二項関係だと見なされるというのも有限グラフ得られ結果大部分無限のケース拡張できなかったり、だいぶ異な証明必要とするめである空グラフとは、頂点集合空である(したがって辺の集合空である)グラフをいう。頂点の数 |V|をグラフの「位数」といい、辺の数 |E|をグラフの「サイズ」という。ただし、アルゴリズム計算複雑性表現するなど一部文脈では、サイズが |V| + |E|である(こうしないと、空ではないグラフのサイズが0となりえてしまう)。頂点次数とは頂点接続する辺の数のことで、ループ付きグラフの場ループは2回カウントされる。 位数 n のグラフにおける、各頂点最大次数は n − 1(ループ許される場合は n )、辺の最大数は n(n − 1)/2(ループ許される場合は n(n + 1)/2)となる。 グラフの辺は「隣接関係」と呼ばれる頂点間の対称関係定義する具体的には、{x, y} が辺であれば2つ頂点 x と y は「隣接している (adjacent)」という。 一つのグラフは n × n {\displaystyle n\times n} の正方行列である隣接行列 A {\displaystyle A} によって完全に指定できるA i j {\displaystyle A_{ij}} は頂点 i と頂点 j をつなぐ接続の数を指定する単純グラフの場合、 A i j ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle A_{ij}\in \{0,1\}} であり、0と1が非接続接続それぞれ表す。またこのとき A i i = 0 {\displaystyle A_{ii}=0} である(つまりループ持たない)。ループ付きグラフは、一部または全ての A i i {\displaystyle A_{ii}} が正の整数になり、多重グラフ頂点間に複数の辺がある)は一部または全ての A i j {\displaystyle A_{ij}} が正の整数になる。無向グラフ隣接行列対称行列となる ( A i j = A j i {\displaystyle A_{ij}=A_{ji}} )。

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グラフ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/09/13 00:05 UTC 版)

ラプラシアン行列」の記事における「グラフ」の解説

グラフ上の酔歩に関する余談として、単純無向グラフ考える。酔歩者が時間tに頂点iにいる確率考え酔歩者が時間t-1頂点jにいた確率分布仮定する任意の頂点結合したいかなる辺に沿った一歩について一様の見込み仮定する): p i ( t ) = ∑ j A i j deg ⁡ ( v j ) p j ( t − 1 ) , {\displaystyle p_{i}(t)=\sum _{j}{\frac {A_{ij}}{\deg \left(v_{j}\right)}}p_{j}(t-1),} または行列-ベクトル記法で: p ( t ) = A D1 p ( t − 1 ) . {\displaystyle p(t)=AD^{-1}p(t-1).} ( t → ∞ {\textstyle t\rightarrow \infty } として設定される平衡p = A D1 p {\textstyle p=AD^{-1}p} として定義される。) この関係は D − 1 2 p ( t ) = [ D − 1 2 A D1 2 ] D − 1 2 p ( t − 1 ) {\displaystyle D^{-{\frac {1}{2}}}p(t)=\left[D^{-{\frac {1}{2}}}AD^{-{\frac {1}{2}}}\right]D^{-{\frac {1}{2}}}p(t-1)} と書き直すことができる。 A reduced ≡ D − 1 2 A D1 2 {\textstyle A_{\text{reduced}}\equiv D^{-{\frac {1}{2}}}AD^{-{\frac {1}{2}}}} は簡約隣接行列呼ばれる対称行列である。したがって、この酔歩者の一歩は A reduced {\textstyle A_{\text{reduced}}} の累乗必要とする。 A reduced {\textstyle A_{\text{reduced}}} は対称行列あるため、これは単純な操作である。

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グラフ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/01/03 19:03 UTC 版)

品質管理」の記事における「グラフ」の解説

数値データそのまま見て全体把握しにくいため、目で見てわかりやすく全体状況早く正しく知るために、グラフを作成する。グラフを作成する時に特にこうしなければならないといった決まったルールはないが、作成した本人だけしか理解できない作図をしても意味がないそのために どのグラフを用いるとよいか どうすればわかりやすいグラフになるか 色分け・線の種類打点種類どうすればよいか を考慮することが大切である折れ線グラフ - 時間的な変化や項目の推移を見る。 棒グラフ - ある時点における大きさ大小を比較する円グラフ - サンプル一時点での内訳割合を示す帯グラフ - 項目ごとの内訳割合時間的な変化を示すレーダーチャート - 対象ごとの性能比較をしたり項目間のバランスを見る。

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グラフ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/08 00:56 UTC 版)

フルアヘッド!ココ」の記事における「グラフ」の解説

海賊クロウバードキャプテン海賊帽をかぶって眼帯をつけた、一般的にイメージされる海賊に近い格好をしている。ファーストネーム不明

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グラフ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/06 04:58 UTC 版)

GNU Guix」の記事における「グラフ」の解説

Guix packは、ユーザパッケージとその依存関係異なったグラフを見ること可能にする

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グラフ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/06 04:53 UTC 版)

関数 (数学)」の記事における「グラフ」の解説

詳細は「函数のグラフを参照 与えられた函数 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} のグラフとは、形式的な集合 G := { ( x , f ( x ) ) : x ∈ X } {\textstyle G:=\{(x,f(x)):x\in X\}} のことである。 よくある場合として X および Y が実数全体(あるいはその特定の部分集合例え区間など)の部分集合となっているとき、実数の組 ( x , y ) ∈ G {\displaystyle (x,y)\in G} を二次元座標系例えデカルト平面英語版)において座標 (x, y) を持つ点と同一視することができる。このような函数(の一部分)の表示法の一環として、プロット図書くことができる(こういったプロット図もまた「函数のグラフ」として至る所良く用いられる)。また違った座標系使って函数図示をすることもできる例え平方函数 x ↦ x2 のグラフは座標 (x, x2) (x ∈ ℝ) を持つ点の全体で直交座標系表せばよく知られたように抛物線になる。これをもし極座標系用いて極座標 (r, θ) = (x. x2) を持つ点をプロットしたならば、この場合のグラフはフェルマー螺旋英語版)になる。

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グラフ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/12 09:55 UTC 版)

日本における死刑囚」の記事における「グラフ」の解説

1949年以降死刑確定数、死刑執行数死刑囚収容数を示す情報源本項の表による。 @media all and (max-width:720px){body.skin-minerva .mw-parser-output div.mw-graph{min-width:auto!important;max-width:100%;overflow-x:auto;overflow-y:visible}}.mw-parser-output .mw-graph-img{width:inherit;height:inherit}

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グラフ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/21 07:39 UTC 版)

割合」の記事における「グラフ」の解説

ある全体中にいくつかの要素があり、それぞれの要素比率視覚的に表示する場合円グラフ帯グラフ用いる。

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グラフ

出典:『Wiktionary』 (2021/07/27 15:01 UTC 版)

語源

英語 graph より。

名詞

グラフ

  1. 複数データ視覚的にわかりやすく整理した図。
  2. (数学) 関数において、2つ数値の関係を座標平面座標空間上に無限に細かくとって直線または曲線したもの
  3. 中心に構成した雑誌画報

関連語

語義1

「グラフ」の例文・使い方・用例・文例

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