同形

デジタル大辞泉

どう‐けい【同形】

読み方：どうけい

１ 形が同じであること。同じ形。「—異種」

２ 類似する化学組成をもつ物質が同じ結晶構造と結晶形を示すこと。方解石CaCO₃と菱苦土石MgCO₃とが、方解石型の結晶構造をとり三方晶系を示すなど。類質同像。

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同型写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/23 04:26 UTC 版)

同型写像 （どうけいしゃぞう、（英: isomorphism）あるいは単に同型とは、数学において準同型写像あるいは射であって、逆射を持つものである。

解説

2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは、それらの間に同型写像が存在することをいう。自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である。同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある。したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい。

1の5乗根が乗法についてなす群は正五角形の回転が合成についてなす群に同型である。

群や環を含むほとんどの代数的構造に対して、準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である。

位相幾何学において、射とは連続写像のことであるが、同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる。解析学において、射は可微分関数であり、同型写像は微分同相とも呼ばれる。

標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるような標準的な写像である。2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは、それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう。例えば、有限次元ベクトル空間 V から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である。一方、V は双対空間に同型であるが、一般には標準的にではない。

同型写像は圏論を用いて形式化される。ある圏の射 f: X → Y が同型射であるとは、両側逆射を持つことをいう。すなわち、その圏における別の射 g: Y → X があって、gf = 1_X かつ fg = 1_Y となる。ただし 1_X と 1_Y はそれぞれ X と Y の恒等射である。

例

対数と指数

R⁺ を正の実数のなす乗法群とし、R を実数のなす加法群とする。

対数関数 log: R⁺ → R はすべての x, y ∈ R⁺ に対して log(xy) = log x + log y を満たすので、それは群準同型である。指数関数 exp: R → R⁺ はすべての x, y ∈ R⁺ に対して exp(x + y) = (exp x)(exp y) を満たすので、それも準同型である。

恒等式 log exp x = x および exp log y = y は log と exp が互いの逆関数であることを示している。log は準同型である逆関数を持つ準同型であるから、群同型である。

log は同型だから、正の実数の積を実数の和に翻訳する。この機能により、定規と対数表を用いて、あるいは対数スケールの計算尺を用いて実数を掛けることができる。

6を法とした整数

0 から 5 までの整数が 6 を法とした加法でなす群 (Z₆, +) を考える。また、群 (Z₂ × Z₃, +) を考える。これは x 座標が 0 か 1 で y 座標が 0 か 1 か 2 の順序対で、加法は x 座標は 2 を法とし、y 座標は 3 を法とする。

これらの構造は以下の対応によって同型である：

(0,0) → 0

(1,1) → 1

(0,2) → 2

(1,0) → 3

(0,1) → 4

(1,2) → 5

あるいは一般に (a, b) → (3a + 4b) mod 6.

例えば、(1, 1) + (1, 0) = (0, 1) であり、もう一方に翻訳すると 1 + 3 = 4 である。

これらの2つの群は集合が異なる元を含むという意味で違って「見える」にもかかわらず、それらは実際同型であり、構造は全く同じである。より一般に、2つの巡回群 Z_m と Z_n の直積が Z_mn と同型であるのは、m と n が互いに素であるとき、かつそのときに限る。

関係を保つ同型

1つの対象が集合 X と二項関係 R からなり、もう1つの対象が集合 Y と二項関係 S からなるとき、X から Y への同型写像は全単射 f: X → Y であって

$\operatorname {S} (f(u),f(v))\iff \operatorname {R} (u,v)$

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参考文献

• Mazur, Barry (12 June 2007), When is one thing equal to some other thing?, http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/when_is_one.pdf 

関連項目

• 双模倣性
• Heap (数学)
• 等長写像
• 同型類
• 同型定理
• 普遍性

外部リンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Isomorphism", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
• Isomorphism - PlanetMath.org（英語）
• Weisstein, Eric W. "Isomorphism". MathWorld (英語).

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「同形」の例文・使い方・用例・文例

• 単純形副詞 《‐ly なしに形容詞と同形で副詞に用いられる時の quick, slow など》.
• 同形歯の.
• 複数も同形である.
• 単複共に同形の名詞がある
• 神人同形説
• 異質同形に関係するさま
• 同形胞子形成により特徴付けられている
• 同じ綴りでありながら語源、意味が異なる2語は同形異義語である（例えばfair）
• 同形のものを大きさの順に中に入れていけるようにした仕組み
• 同形のものを大きさの順に中に入れられるように作った器
• 同一面に多くの同形仏像を描いたもの
• 多くの同形仏像を同じ堂内に安置したもの
• 同形分裂という,生物の細胞分裂
• 同形のものをつくるためのかた