指数関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/06 06:50 UTC 版)
実解析における指数関数（しすうかんすう、英: exponential function）は、冪における指数 (exponent) を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数関数の逆関数であるため、逆対数 (anti-logarithm, inverse logarithm) と呼ばれることもある[1][注釈 1]。自然科学において、指数関数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（指数関数的増加や指数関数的減衰の項を参照）。
注釈
- ^ "Inverse Use of a Table of Logarithms; that is, given a logarithm, to find the number corresponding to it, (called its antilogarithm)…"[2]
- ^ 英語で exponential function と the exponential function とを区別することがあるように、ドイツ語では一般の底に関する指数関数を exponentiellen Funktionen（指数の関数）、自然指数関数を Exponentialfunktion のように区別することもある。
出典
- ^ MSDN の
Exp関数の解説 - ^ – p. 12 of Converse; Durrell (1911), Plane and spherical trigonometry, C.E. Merrill co.
- ^ a b John J O'Connor; Edmund F Robertson. “The number e”. School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews, Scotland. 2011年6月13日閲覧。
- ^ a b Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.
- ^ Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 1. ISBN 978-0-07-054234-1
指数関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/13 04:12 UTC 版)
「ウェブスターのホルン方程式」の記事における「指数関数」の解説
断面積 S {\displaystyle S} が座標 x {\displaystyle x} の指数関数 S ∝ e x / l {\displaystyle S\propto e^{x/l}} である場合、ウェブスターのホルン方程式の解として p ( t , x ) = e − x / 2 l ( A e i κ x + B e − i κ x ) {\displaystyle p(t,x)=e^{-x/2l}(Ae^{i\kappa x}+Be^{-i\kappa x})} κ = k 2 − 1 4 l 2 {\displaystyle \kappa ={\sqrt {k^{2}-{\frac {1}{4l^{2}}}}}} が得られる（ A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} は定数）。
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指数関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:51 UTC 版)
パウリ行列の性質 σ i 2 = I {\displaystyle {\sigma _{i}}^{2}=I} から、その行列指数関数はオイラーの公式の類似である関係式 exp ( i a σ i ) = cos a I + i sin a σ i ( a ∈ C ) {\displaystyle \exp(ia\sigma _{i})=\cos aI+i\sin a\sigma _{i}\quad (a\in \mathbb {C} )} を満たす。さらに実ベクトル a→ = (a1, a2, a3) ∈ R3 とパウリ行列の組 σ→ = (σ1, σ2, σ3) に対し、 exp ( i a → ⋅ σ → ) = cos | a → | I + i sin | a → | ( n → ⋅ σ → ) {\displaystyle \exp(i{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=\cos {|{\vec {a}}|}\,I+i\sin {|{\vec {a}}|}({\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }})} が成り立つ。ただし、n→ は n → = 1 | a → | ( a 1 , a 2 , a 3 ) {\displaystyle {\vec {n}}={\frac {1}{|{\vec {a}}|}}(a_{1},a_{2},a_{3})} で与えられる単位ベクトルである。 a→ が実ベクトルの場合、exp(i a→⋅σ→) は2次特殊ユニタリ群 SU(2) の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた iσk (k = 1, 2, 3) が SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2) の基底であることによる。
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