冪函数

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冪函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/26 14:07 UTC 版)

数学の、特に解析学における冪函数（べきかんすう、巾函数、英: power function）は、適当な定数 a に対して定義される函数

$f_{a}\colon x\mapsto x^{a}$

冪指数がそれぞれ 0 (黒), 1 (青), 2 (赤), 3 (緑), 4 (橙), 5 (紫) の冪函数

各自然数 n に対して ℝ 上の函数

$f_{n}(x):=x^{n}=\underbrace {x\times \cdots \times x} _{n}$

冪指数がそれぞれ –1 (青), –2 (赤), –3 (緑) の冪函数

各負の整数 −n に対して、非零実数の集合 R* := R ∖ {0} = {x ∈ R | x ≠ 0} 上の函数

$f_{-n}(x):=x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}={\frac {1}{f_{n}(x)}}$

冪指数がそれぞれ 1/2 (青), 1/3 (赤) の冪函数

任意の非零自然数 n に対して、

• n が偶数のときは f_n: [0, +∞) → [0, +∞) と見て、
• n が奇数のときは f_n: ℝ → ℝ と見て、

函数 f_n は全単射である。従ってその逆函数が存在するが、f_n の逆函数は n-乗根函数といい、やはりこれも冪函数として

$f_{n}^{-1}(x):={\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}=:f_{1/n}(x)$

冪指数がそれぞれ -0,5 (赤), 0 (黒), 0,6 (緑), 1 (青), 1,7 (紫) の冪函数

指数函数と対数函数が既知ならば、それらを用いて冪函数を任意の実数を冪指数とするものへ一般化することができる。x は真に正の値をとるものとすれば、函数 f_a は

$f_{a}(x)=x^{a}:=e^{a\ln(x)}$ ポータル 数学

• 切断冪関数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Power". MathWorld (英語).
• Power Function - PlanetMath.（英語）
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Power function", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。