無限小とヘルダー連続
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/26 14:07 UTC 版)
「ヘルダー条件」も参照 正の数 a に対して limx→0fa(x) = 0 である。他の函数とこの極限の収束度を比較しよう。函数 f が位数 n の無限小であるとは、f(x)⁄xn が x = 0 を含む十分小さな開区間上で有界なることとする. 函数 f が区間 I 上で a-ヘルダー連続とは、実数 M が存在して | f ( x ) − f ( y ) | ≤ M | x − y | a ( ∀ x , y ∈ I ) {\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^{a}\quad (\forall x,y\in I)} とできるときに言う。一般に、a は 0 < a ≤ 1 で考えるものとする（a > 1 ならば f は I 上で定数ということになってしまう）。 冪指数 a (0 < a ≤ 1) の冪函数はもっとも簡単な a-ヘルダー連続函数となる。実際、実数x ≥ y ≥ 0 に対して 0 ≤ x a − y a ≤ ( x − y ) a {\displaystyle 0\leq x^{a}-y^{a}\leq (x-y)^{a}} が成り立つ。
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