無限小リー群表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 02:26 UTC 版)
リー代数の表現は自然に発生する。φ: G → H を（実、もしくは、複素）リー群の準同型とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} と h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} をそれぞれ G と H のリー代数とすると、恒等元上での接空間上の微分（英語版）(differential) d ϕ : g → h {\displaystyle d\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} はリー代数の準同型である。特に、有限次元ベクトル空間 V に対して、リー群の表現 ϕ : G → G L ( V ) {\displaystyle \phi :G\to \mathrm {GL} (V)} は、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} から一般線型群 GL(V) つまり、V の自己準同型の代数へのリー代数の準同型 d e ϕ : g → g l ( V ) {\displaystyle d_{e}\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} を決定する。 たとえば、 c g ( x ) = g x g − 1 {\displaystyle c_{g}(x)=gxg^{-1}} とすると、 c g : G → G {\displaystyle c_{g}:G\to G} の恒等元での微分は、 G L ( g ) {\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})} の元である。これを Ad ( g ) {\displaystyle \operatorname {Ad} (g)} と表わすと、ベクトル空間 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の G の表現 Ad {\displaystyle \operatorname {Ad} } を得る。先行して適用すると、リー代数の表現 d Ad {\displaystyle d\operatorname {Ad} } を得る。このことから d e Ad = ad {\displaystyle d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad} } を示すことができる。 以上のステートメントの部分的な逆は、すべての有限次元（実、複素）リー代数の表現は、一意に随伴単連結なリー群の表現へ持ち上げることができることを意味している。従って、単連結なリー群の表現と、それらのリー代数の表現とは 1 対 1 に対応する。
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