無限小変換の集合spin(3)=su(2)の具体的表記
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
「スピン角運動量」の記事における「無限小変換の集合spin(3)=su(2)の具体的表記」の解説
軌道角運動量を定義する際SO(3)の無限小変換の集合so(3)が必要になったのと同様の理由で、スピン角運動量の定義にはSpin(3) = SU(2) の「無限小変換」全体の集合spin(3)=su(2)を用いるので、本節ではその具体的形と基本的な性質を調べる。(G4)、(G7)より、 s p i n ( 3 ) = s u ( 2 ) = { d U ( t ) d t | t = 0 : U ( t ) {\displaystyle {\mathsf {spin}}(3)={\mathsf {su}}(2)={\Bigg \{}{\operatorname {d} U(t) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}~:~U(t)} は Spin(3)=SU(2) 上の可微分な曲線で、t=0 のとき単位行列となる } {\displaystyle {\Bigg \}}} . = { A ∈ M 2 , 2 ( C ) : A ∗ = − A , t r A = 0 } {\displaystyle =\{A\in M_{2,2}(\mathbf {C} )~:~A^{*}=-A,~\mathrm {tr} A=0\}} ...(L1) である。su(2) 上に内積 ⟨ A , B ⟩ := 2 t r ( A B ∗ ) {\displaystyle \langle A,B\rangle :=2\mathrm {tr} (AB^{*})} …L2 を定義すると、su(2) は実3次元分の自由度を持った計量ベクトル空間であるとみなせる。 次にsu(2) の基底について述べる。パウリ行列 σ1, σ2, σ3 を σ 1 = ( 0 1 1 0 ) , σ 2 = ( 0 − i i 0 ) , σ 3 = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\end{pmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}} …(L3) により定義し、su(2)の元X1、X2、X3を X 1 = − i 2 σ 1 = 1 2 ( 0 − i − i 0 ) , X 2 = − i 2 σ 1 = 1 2 ( 0 − 1 1 0 ) , X 3 = − i 2 σ 3 = 1 2 ( − i 0 0 i ) {\displaystyle X_{1}=-{i \over 2}\sigma _{1}={1 \over 2}{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}},~~X_{2}=-{i \over 2}\sigma _{1}={1 \over 2}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},~~X_{3}=-{i \over 2}\sigma _{3}={1 \over 2}{\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}} ....(L4) により定義すると:p39-40:p31,73、(L1)、(L2)より次が成立することがわかる。 X1、X2、X3はspin(3) = su(2) 上の正規直交基底である:p39-40:p31,73。 ...(L5) そこで3次元ベクトルx=(x, y, z)∈R3に対し、 X x = x X 1 + y X 2 + z X 3 = − i 2 ( x σ 1 + y σ 2 + z σ 3 ) = 1 2 ( − i z − y − i x y − i x i z ) {\displaystyle X_{\mathbf {x} }=xX_{1}+yX_{2}+zX_{3}=-{i \over 2}(x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3})={1 \over 2}{\begin{pmatrix}-iz&-y-ix\\y-ix&iz\end{pmatrix}}} …(L6) と定義すると、写像 x ∈ R 3 → ∼ X x ∈ s p i n ( 3 ) {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{3}{\overset {\sim }{\to }}X_{\mathbf {x} }\in {\mathsf {spin}}(3)} により R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}} と spin(3) = su(2) を計量ベクトル空間として同一視できる。しかもこの同一視において、以下が成立する:p65： X x × y = [ X x , X y ] {\displaystyle X_{\mathbf {x} \times \mathbf {y} }=[X_{\mathbf {x} },X_{\mathbf {y} }]} ここで「×」はクロス積であり、[A,B] = AB-BAは交換子積である。
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