具体的表記
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 03:05 UTC 版)
帯球関数を具体的に書き表す為、記号を導入する。自然数 n と非負の実数 x に対しポッホハマー記号 (x)n を ( x ) n := Γ ( x + n ) Γ ( x ) {\displaystyle (x)_{n}:={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}} により定義する。ここで Γ(x) はガンマ関数である。さらにガウスの超幾何関数を 2 F 1 ( − k , b ; c ; z ) = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( k i ) ( b ) i ( c ) i z i {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-k,b;c;z)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {(b)_{i}}{(c)_{i}}}z^{i}} により定義し、さらに超球多項式を P k ( α ) ( z ) := 2 F 1 ( − k , 2 α + k ; α + 1 2 ; 1 − z 2 ) {\displaystyle P_{k}^{(\alpha )}(z):=\,_{2}F_{1}\!\left(-k,2\alpha +k;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right)} により定義する。このとき、次が成立する。 Z k n ( x 1 , … , x n ) := P k ( ( n − 2 ) / 2 ) ( x n ) {\displaystyle Z_{k}^{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=P_{k}^{((n-2)/2)}(x_{n})} は k 次の帯球関数である。 すでに述べたように、k 次の帯球関数は定数倍を除いて一意なので、全ての k 次帯球関数は上述したものの定数倍として表記可能である。
※この「具体的表記」の解説は、「球面調和関数」の解説の一部です。
「具体的表記」を含む「球面調和関数」の記事については、「球面調和関数」の概要を参照ください。
- 具体的表記のページへのリンク
