Φ3が誘導する写像(Φ3)*の定義とその具体的表記
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
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(G14)に従い、Φ3が誘導する写像(Φ3)* を、 ( Φ 3 ) ∗ : d U ( t ) d t | t = 0 ∈ s p i n ( 3 ) = s u ( 2 ) ↦ d Φ 3 ( U ( t ) ) d t | t = 0 ∈ s o ( 3 ) {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}~:~\left.{\mathrm {d} U(t) \over \mathrm {d} t}\right|_{t=0}\in {\mathsf {spin}}(3)={\mathsf {su}}(2)\mapsto \left.{\mathrm {d} \Phi _{3}(U(t)) \over \mathrm {d} t}\right|_{t=0}\in {\mathsf {so}}(3)} …(D1) により定義する。このとき(Φ3)* は ( Φ 3 ) ∗ ( X x ) = F x {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}(X_{\mathbf {x} })=F_{\mathbf {x} }} …(D2) を満たす:p43:p73。成分で書けば 1 2 ( Φ 3 ) ∗ ( − i z − y − i x y − i x i z ) = ( 0 − z y z 0 − x − y x 0 ) {\displaystyle {1 \over 2}(\Phi _{3})_{*}{\begin{pmatrix}-iz&-y-ix\\y-ix&iz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{pmatrix}}} である。特に ( Φ 3 ) ∗ : s p i n ( 3 ) → ∼ s u ( 2 ) {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}~:~{\mathsf {spin}}(3){\overset {\sim }{\to }}{\mathsf {su}}(2)} …(D3) は同型写像である。 (D2)の証明 (X4)より、Spin(3)上の曲線U(t)は3次元空間曲線x(t)∈R3を用いて U ( t ) = exp ( X x ( t ) ) {\displaystyle U(t)=\exp(X_{\mathbf {x} (t)})} という形で表記できる。x=(x1,x2,x3)=x(0)とすると、任意のY=v1X1+v2X2+v3X3∈spin(3)=su(2)に対し、 ( Φ 3 ) ∗ ( X x ) Y = d d t Φ 3 ( exp ( X x ( t ) ) ) Y | t = 0 {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}(X_{\mathbf {x} })Y=\left.{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\Phi _{3}(\exp(X_{\mathbf {x} (t)}))Y\right|_{t=0}} = d d t exp ( X x ( t ) ) Y exp ( − X x ( t ) ) | t = 0 = X x E − E X x {\displaystyle =\left.{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\exp(X_{\mathbf {x} (t)})Y\exp(-X_{\mathbf {x} (t)})\right|_{t=0}=X_{\mathbf {x} }E-EX_{\mathbf {x} }} = [ X x , Y ] = ∑ j , k x j v k [ X j , X k ] {\displaystyle =[X_{\mathbf {x} },Y]=\sum _{j,k}x_{j}v_{k}[X_{j},X_{k}]} = ( X 1 , X 2 , X 3 ) ( 0 − x 3 x 2 x 3 0 − x 1 − x 2 x 1 0 ) ( v 1 v 2 v 3 ) {\displaystyle =(X_{1},X_{2},X_{3}){\begin{pmatrix}0&-x_{3}&x_{2}\\x_{3}&0&-x_{1}\\-x_{2}&x_{1}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}} である。ここで[A,B]=AB-BAは交換子積である。 よってYの任意性と(G11)から以下の結論が得られる： ( Φ 3 ) ∗ ( X x ) = F x {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}(X_{\mathbf {x} })=F_{\mathbf {x} }}
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