Φ3の具体的表記
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
(G16)、(D2)より、 Φ 3 ( exp ( θ X x ) ) = exp ( ( Φ 3 ) ∗ ( θ X x ) ) = exp ( θ F x ) {\displaystyle \Phi _{3}(\exp(\theta X_{\mathbf {x} }))=\exp((\Phi _{3})_{*}(\theta X_{\mathbf {x} }))=\exp(\theta F_{\mathsf {x}})} …(E1) である。(X4)より、Spin(3)の元は何らかのθ∈[0,4π]を用いて、exp(θXx)の形に書けるので、上式によりΦ3の振る舞いを完全に記述可能である。 しかも Φ 3 ( exp ( ( θ + 2 π ) X n ) ) = exp ( ( θ + 2 π ) F n ) {\displaystyle \Phi _{3}(\exp((\theta +2\pi )X_{\mathbf {n} }))=\exp((\theta +2\pi )F_{\mathbf {n} })} = exp ( θ F n ) = Φ 3 ( exp ( θ X n ) ) {\displaystyle =\exp(\theta F_{\mathbf {n} })=\Phi _{3}(\exp(\theta X_{\mathbf {n} }))} であるので、スピン群の定義(C1)で述べた、Φ3が2:1の写像であるという事実が確認できる。 Spin(3)=SU(2)の元の成分表示(X1)を用いると、Φ3は下記のように表示できることも知られている:p74： Φ 3 ( α β − β ¯ − α ) = ( R e ( α 2 − β 2 ) I m ( α 2 + β 2 ) − 2 R e ( α β ) − I m ( α 2 − β 2 ) R e ( α 2 + β 2 ) 2 I m ( α β ) 2 R e ( α β ¯ ) 2 I m ( α β ¯ ) | α | 2 − | β | 2 ) {\displaystyle \Phi _{3}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&-\alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {Re} (\alpha ^{2}-\beta ^{2})&\mathrm {Im} (\alpha ^{2}+\beta ^{2})&-2\mathrm {Re} (\alpha \beta )\\-\mathrm {Im} (\alpha ^{2}-\beta ^{2})&\mathrm {Re} (\alpha ^{2}+\beta ^{2})&2\mathrm {Im} (\alpha \beta )\\2\mathrm {Re} (\alpha {\bar {\beta }})&2\mathrm {Im} (\alpha {\bar {\beta }})&|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}\\\end{pmatrix}}}
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