Spin(3) から SO(3) への準同型写像 Φ3
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
「スピン角運動量」の記事における「Spin(3) から SO(3) への準同型写像 Φ3」の解説
前の節で述べたように、su(2) は3次元の計量ベクトル空間なので、R3と同一視できる。U ∈ Spin(3) = SU(2)と Y ∈ s u ( 2 ) ≃ R 3 {\displaystyle Y\in {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}} に対し、UYU−1も s u ( 2 ) ≃ R 3 {\displaystyle {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}} の元である事が簡単な計算からわかる。しかも線形写像Φ3(U)を Φ 3 ( U ) : Y ∈ s u ( 2 ) ≃ R 3 ↦ U Y U − 1 ∈ s u ( 2 ) ≃ R 3 {\displaystyle \Phi _{3}(U)~:~Y\in {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}\mapsto UYU^{-1}\in {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}} と定義するとΦ3(U)が(L2)で定義された内積と空間の向きを保つ事を簡単な計算で確かめられる。すなわちΦ3(U)は回転変換であるので、Φ3(U)∈SO(3)である。 以上により、Spin(3) から SO(3) への準同型写像 Φ 3 : U ∈ S p i n ( 3 ) = S U ( 2 ) ↦ Φ 3 ( U ) ∈ S O ( 3 ) {\displaystyle \Phi _{3}~:~U\in \mathrm {Spin} (3)=\mathrm {SU} (2)\mapsto \Phi _{3}(U)\in \mathrm {SO} (3)} が定義できた。この Φ3の具体的表記は後の節で述べる。
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