Spin(3)のユニタリ表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
「スピン角運動量」の記事における「Spin(3)のユニタリ表現」の解説
u≧0を整数もしくは半整数とし、Wuを2u+1次元の複素計量ベクトル空間とする。具体的には 一粒子のスピン角運動量を考える場合は、u=sで、Wuはスピノール空間Vs 一粒子の軌道角運動量を考える場合は、WuはL2(R3)の2u+1次元部分空間 一粒子の全角運動量を考える場合は、Wuは L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}} の2u+1次元部分空間 を想定している。複数粒子の場合も同様である。定理1より、Spin(3)のWs上での既約ユニタリ表現が同型を除いて一意に存在するので、この既約ユニタリ表現を D u : S p i n ( 3 ) → U ( W u ) {\displaystyle D^{u}~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (W_{u})} と表記する。(H1)、(H2)ですでに述べたように、 W 1 / 2 = C 2 {\displaystyle W_{1/2}=\mathbf {C} ^{2}} D 1 / 2 = i d {\displaystyle D^{1/2}=\mathrm {id} } である。 一般のuに対するWuとDuはW1/2とD1/2から構成できる:p25-27。
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