Spin(3)の元の具体的表記
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
「スピン角運動量」の記事における「Spin(3)の元の具体的表記」の解説
Spin(3) = SU(2) は、α, β の実数を用いて S U ( 2 ) = { ( α β − β ¯ α ¯ ) | α , β ∈ C , | α | 2 + | β | 2 = 1 } {\displaystyle \mathrm {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}{\Bigg |}\alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,~|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}} …(X1) と書き表すことができる事が簡単な計算から従う:p38:p65。 一方、n=(x, y, z)∈R3を単位ベクトルとし、パウリ行列を使って σ n = x σ 1 + y σ 2 + z σ 3 {\displaystyle \sigma _{\mathbf {n} }=x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3}} …(X2) と定義すると簡単な計算により、 σ n 2 = I {\displaystyle \sigma _{\mathbf {n} }^{2}=I} がわかる。よって行列Aに対する指数関数exp(A)を(A3)式のように定義すると、τ ∈ [0,2π]に対し、 exp ( i τ σ n ) = ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( i τ σ n ) j {\displaystyle \exp(i\tau \sigma _{\mathbf {n} })=\sum _{j=0}^{\infty }{1 \over j!}(i\tau \sigma _{\mathbf {n} })^{j}} = ∑ j : even ( i τ ) j j ! I + ∑ j : odd ( i τ ) j j ! σ n {\displaystyle =\sum _{j~:~{\text{even}}}{(i\tau )^{j} \over j!}I+\sum _{j~:~{\text{odd}}}{(i\tau )^{j} \over j!}\sigma _{\mathbf {n} }} = cos ( τ ) I + i sin ( τ ) σ n {\displaystyle =\cos(\tau )I+i\sin(\tau )\sigma _{\mathbf {n} }} ...(X3) が従う:p28-29。 θ = 2 τ {\displaystyle \theta =2\tau } とすると、(L4)で述べたspin(3)=su(2)の基底を用いてスピン群の元を次のように書き表す事ができる事が、(X1)、(X2)、(X3)からわかる： Spin(3)=SU(2)の任意の元Uは単位ベクトルn=(x, y, z)∈R3と θ∈[0,4π] を用いて U = exp ( θ X n ) {\displaystyle U=\exp(\theta X_{\mathbf {n} })} の形で表記可能である。しかもS≠I, −Iであればこのように表記できるn、θは一意である。 ...(X4)
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