ユニタリ表現
ユニタリ表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/15 14:18 UTC 版)
詳細は「ユニタリ表現」を参照 すべての T(g) がユニタリ変換であるような表現をユニタリ表現と呼ぶ（直交変換はユニタリ変換の特別な場合であるから、直交変換による表現もユニタリ表現である）。
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ユニタリ表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 08:17 UTC 版)
詳細は「ユニタリ表現」を参照 群 G のユニタリ表現は、実もしくは複素の完備ヒルベルト空間 V 上の G の線型表現 φ であり、φ(g) がすべての G の元 g に対しユニタリ作用素となっている。そのような表現は、1920年代以来、特にヘルマン・ワイルと彼が発展を動機付けたことのにより、広く量子力学へ応用されてきた。中でも、もっとも有名なことは、エフゲニー・ウィグナーによるポアンカレ群の表現（英語版）(representations of the Poincaré group)である。（特定の群というよりも任意の群 G に対しての応用上有益であるが、）応用上有益なユニタリ表現の一般論を構成する開拓者の一人は、ジョージ・マッケイ（英語版）(George Mackey)であり、拡張された理論はハリッシュ・チャンドラ（英語版）(Harish-Chandra)他により1950年代と1960年代に開発された。 ユニタリ表現論の主要な目的は、「ユニタリ双対(unitary dual)」、つまり、G の既約ユニタリ表現の空間を記述することである。G が局所コンパクトなハウスドルフ的位相群で、表現は強連続（英語版）(strongly continuous)である場合が最も良く知られた理論である。G が可換なの場合は、ユニタリ双対は指標(character)の空間となる。一方、G がコンパクトな場合は、ピーター・ワイルの定理（英語版）(Peter–Weyl theorem)は、既約ユニタリ表現は有限次元であり、ユニタリ双対は離散的であることを示している。たとえば、G が円の群 S1 であるときは、指標は整数で与えられ、ユニタリ双対は Z となる。 非コンパクトな G に対して、表現がユニタリとなるかという疑問は微妙である。既約ユニタリ表現は「許容的(admissible)」である必要があり（ハリッシュ・チャンドラ加群（英語版）(Harish-Chandra module)のように）、容易に許容表現が非退化な不変半双線型形式を持つことを示すことができるが、いつこの形式が正定値となるかを決定することが困難である。ユニタリ双対の有効な記述は、実簡約的なリー群（以下に議論するが、）のような比較的うまく定義できる群の場合でさえ、表現論の重要な未解決問題である。たとえば、SL(2, R)（英語版）やローレンツ群（英語版）のように、多くの特殊な群については解かれている。
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ユニタリ表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 08:24 UTC 版)
最高ウェイト表現がユニタリであるとは、内積 ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} が正定値となるということである。実数の固有値 h {\displaystyle h} , c {\displaystyle c} を持つ既約最高ウェイト表現がユニタリであるのは、 c ≥ 1 {\displaystyle c\geq 1} かつ h ≥ 0 {\displaystyle h\geq 0} である場合、若しくは上の条件 h = h r , s {\displaystyle h=h_{r,s}} にさらに制限を加え c {\displaystyle c} が c = 1 − 6 m ( m + 1 ) = 0 , 1 / 2 , 7 / 10 , 4 / 5 , 6 / 7 , 25 / 28 , … {\displaystyle c=1-{6 \over m(m+1)}=0,\quad 1/2,\quad 7/10,\quad 4/5,\quad 6/7,\quad 25/28,\ldots } (m = 2, 3, 4, ...) のいずれかの値をとり、かつ h が h = h r , s ( c ) = ( ( m + 1 ) r − m s ) 2 − 1 4 m ( m + 1 ) {\displaystyle h=h_{r,s}(c)={((m+1)r-ms)^{2}-1 \over 4m(m+1)}} (r = 1, 2, 3, ..., m−1; s= 1, 2, 3, ..., r) のいずれかの値をとる場合であり、かつそのときに限る。このときq=m, p=m+1に対応している。これらの条件の必要性は Friedan, Qiu & Shenker (1984) によって示され、Goddard, Kent & Olive (1986) がコセット構成（英語版）あるいはGKO構成（英語版）（ヴィラソロ代数のユニタリ表現をアフィンカッツ・ムーディリー環のユニタリ表現のテンソル積と同一視する）を用いて十分性を示した。c < 1 を持つユニタリ既約最高ウェイト表現は、ヴィラソロ代数の離散系列表現と総称される。 離散系列表現の最初のほうは以下のように与えられる。 m = 2: c = 0, h = 0. （自明表現） m = 3: c = 1/2, h = 0, 1/16, 1/2. （イジング模型に関連する 3 種類の表現） m = 4: c = 7/10. h = 0, 3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2. （三重臨界イジング模型に関連する 6 種類の表現） m = 5: c = 4/5. （3-状態ポッツ模型に関連する 10 種類の表現） m = 6: c = 6/7. （三重臨界 3-状態ポッツ模型に関連する 15 種類の表現）
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