調和解析

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調和解析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/16 15:37 UTC 版)

数学の一分野としての調和解析（ちょうわかいせき、英: Harmonic analysis）は、関数や信号を基本波の重ね合わせとして表現することに関わるもので、フーリエ級数やフーリエ変換及びその一般化について研究する分野である。主要な周波数（波長）の成分に着目し、問題を分析することができる。

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調和解析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/20 09:49 UTC 版)

「アディティブ・シンセシス」の記事における「調和解析」の解説

調和解析は、1822年フランスの数学者ジョゼフ・フーリエが熱伝導の文脈で彼の研究に関する広範な論文を発表して、研究が端緒に付いた。 この理論の初期の応用には、潮の干満の予測がある。1876年頃、 ケルビン卿ことウィリアム・トムソンは機械式の潮汐予測機（Tide-predicting machine）を構築した。この装置はharmonic analyzerとharmonic synthesizerで構成され、それらは19世紀に既に前述の名で呼ばれていた。 潮汐の測定値は、ケルビン卿の兄ジェームズ・トムソンの積分機（integrating machine）を使い分析された。結果として得られたフーリエ係数は、紐と滑車のシステムを使ったsynthesizerに入力され、将来の潮汐の予測のための正弦波基底の調和部分波が生成され足し合わされた。同様な装置は1910年にも、音の周期波形の解析を目的として構築された。 この装置のsynthesizer部は合成波形をグラフに描画し、それは主に解析結果の視覚的検証に使用された。

調和解析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/05/25 08:44 UTC 版)

「有限アーベル群」の記事における「調和解析」の解説

詳細は「有限アーベル群上の調和解析（フランス語版）」を参照 有限アーベル群は特筆すべき群指標を持ち、その指標群は自身に同型である。ゆえに、そのような群上の調和解析は単純で確立されていて、フーリエ変換や畳み込みを定義することができる。よく知られた結果として、パーシヴァルの等式、プランシュレルの定理やポワソン和公式などが挙げられる。

調和解析

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 08:17 UTC 版)

「表現論」の記事における「調和解析」の解説

詳細は「調和解析」を参照 円の群 S1 と整数 Z やより一般的にトーラス Tn と Zn の間の双対関係は、解析的にはフーリエ級数の理論としてよく知られている。フーリエ変換は、実ベクトル空間上の指標の空間が双対ベクトル空間(dual vector space)であるという事実を表している。このようにして、ユニタリ表現と調和解析は密接に関連し合っていて、抽象調和解析はこの関係を利用して、局所コンパクト位相群と関連する空間の函数の解析を発展させた。 主要な目的は、フーリエ変換やプランシュレルの定理の一般的な形を提供することである。このことは、ユニタリ双対(unitary dual)上の測度と、G 上の二乗可積分函数の空間 L2(G) の正規表現とユニタリ双対上のL2函数空間の間の同型を構成することで達成される。ポントリャーギン双対とピーター・ワイルの定理（英語版）は、可換群とコンパクトな群でそれぞれ達成された。 別なアプローチは、既約ではないすべてのユニタリ表現を考えることを意味している。これらは圏を構成し、淡中・クライン双対性（英語版）(Tannaka–Krein duality)は、ユニタリ表現のカテゴリからコンパクト群を再現する方法をもたらした。 群が可換でもコンパクトでもない場合に、アレクサンドル・グロタンディークが淡中・クライン双対性を線型代数群(linear algebraic group)と淡中圏の間の関係へ拡張したにもかかわらず、プランシュレルの定理やフーリエ変換に類似する一般論は知られていない。 調和解析は G 上の函数解析から G の等質空間(homogeneous space)上の函数へ拡張された。特に、この理論は対称空間（英語版）(symmetric space)に対して発展し、保型形式論をもたらした（以下に議論する）。