表現論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:55 UTC 版)
表現論（ひょうげんろん、英: representation theory）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することで代数構造上の加群を研究する数学の一分野である[1]。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象には、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が行列の積で、群の要素が正則行列で表現されている[2]。
- ^ 表現論の古典的なテキストには Curtis & Reiner (1962) や Serre (1977) がある。他の優れた文献には Fulton & Harris (1991) や Goodman & Wallach (1998) がある。
- ^ 有限群の表現論の歴史は、Lam (1998) を参照。代数群やリー群については、Borel (2001) を参照。
- ^ a b ベクトル空間や線型代数には多くの教科書がある。進んだ扱いをしている教科書は、Kostrikin & Manin (1997)を参照。
- ^ Sally & Vogan 1989.
- ^ a b Sternberg 1994.
- ^ Lam 1998, p. 372.
- ^ a b c Folland 1995.
- ^ Goodman & Wallach 1998, Olver 1999, Sharpe 1997.
- ^ Borel & Casselman 1979, Gelbert 1984.
- ^ See the previous footnotes and also Borel (2001).
- ^ a b Simson, Skowronski & Assem 2007.
- ^ Fulton & Harris 1991, Simson, Skowronski & Assem 2007, Humphreys 1972.
- ^ このことについては、標準的な教科書、たとえば、Curtis & Reiner (1962), Fulton & Harris (1991), Goodman & Wallach (1998), Gordon & Liebeck (1993), Humphreys (1972), Jantzen (2003), Knapp (2001), Serre (1977) を参照.
- ^ a b Serre 1977
- ^ 次元 0 の表現 {0} は可約でも規約でもないと考えることができる。ちょうど、数 1 が合成数でも素数でもないと考えられることと同じである。
- ^ Alperin 1986, Lam 1998, Serre 1977.
- ^ Kim 1999.
- ^ Serre 1977, Part III
- ^ Alperin 1986.
- ^ See Weyl 1928.
- ^ Wigner 1939.
- ^ Borel 2001.
- ^ a b Knapp 2001.
- ^ a b Peter & Weyl 1927.
- ^ Bargmann 1947.
- ^ Pontrjagin 1934.
- ^ a b Weyl 1946.
- ^ a b c Fulton & Harris 1991.
- ^ Humphreys 1972a.
- ^ Kac 1990.
- ^ Kac 1977.
- ^ Humphreys 1972b, Jantzen 2003.
- ^ Olver 1999.
- ^ Mumford, Fogarty & Kirwan 1994.
- ^ Sharpe 1997.
- ^ Borel & Casselman 1979.
- ^ Gelbart 1984.
表現論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/27 08:10 UTC 版)
簡約群が重要である理由のひとつは表現論に由来する。べき単群が持つ任意の既約表現は自明である。より一般に、線型代数群 G をべき単群 U の簡約群 R による拡大 1 → U → G → R → 1 {\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1} として書いたとき、G が持つ任意の既約表現は R を経由 factors through する。この事実は焦点を簡約群の表現論へと絞り込む。（ここで言う表現とは、G の〈代数群としての〉表現である。したがって、体 k 上の群 G に関して、表現とは k ベクトル空間であり、G の作用は正則関数で与えられている。それは重要である一方、実簡約群 G に対して群 G(R) の連続表現を分類する問題〔あるいは他の体上における類似〕とは異なる。） シュヴァレーは体 k 上の分裂簡約群が持つ既約表現は有限次元であり、支配的ウェイト（英語版）により径数付けられることを示した。これはコンパクト連結リー群の表現論や複素半単純リー代数の表現論で起きていたことと同様である。標数がゼロである k に関して、これらの理論は本質的には等価である。特に、標数ゼロの体上の簡約群 G が持つ任意の表現は既約表現の直和であり、G が分裂しているならば、既約表現の指標はワイルの指標公式により与えられる。ボレル＝ヴェイユの定理は標数ゼロのとき簡約群 G が持つ既約表現の幾何学的構成を旗多様体 G/B 上の直線束の切断の空間として与える。 正標数 p の体上における（トーラスでない）簡約群の表現論はよく理解されているわけではない。この状況では、表現が既約表現の直和であるとは限らない。さらに、既約表現は支配的ウェイトで径数付けられるものの、その次元や指標は限られた場合にしか知られていない。Andersen, Jantzen & Soergel (1994) は群のコクセター数（英語版）に対して標数 p が十分大きいときに（ルスティック予想を証明することで）これらの指標を決定した。小さな素数 p に対しては、未だ明瞭な予想すら存在しない。
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表現論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:56 UTC 版)
表現論において、外積代数はベクトル空間の圏における二つの基本シューア函手（英語版）のうちの一つで、もう一方は対称代数である。これらの構成はともに一般線型群の既約表現を生み出すのに用いられる。
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表現論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/22 23:15 UTC 版)
カッツ・ムーディ代数やその普遍包絡環に多くの異なるタイプの表現があるのと全く同じように、量子群にも多くの異なるタイプの表現がある。 すべてのホップ代数の場合がそうであるように、Uq(G) は加群として自身の上に随伴表現を持つ。その作用は A d x ⋅ y = ∑ ( x ) x ( 1 ) y S ( x ( 2 ) ) {\displaystyle {\mathrm {Ad} }_{x}\cdot y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)})} によって与えられる。ただし Δ ( x ) = ∑ ( x ) x ( 1 ) ⊗ x ( 2 ) {\displaystyle \Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}} である。
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表現論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/11/01 09:29 UTC 版)
「ランキン・コーエンブラケット」の記事における「表現論」の解説
Rankin–Cohen ブラケットのミステリアスな数式は表現論の言葉で説明することができる。モジュラー形式は SL2(R)/SL2(Z) 上の関数の空間における SL2(R) の離散級数表現（英語版）に対する最小のウェイトのベクトルと見なすことができる。モジュラー形式 f と g に対応する2つの最小ウェイトの表現のテンソル積は、非負整数 n で添え字づけられた最小ウェイトの表現の直和として分裂する。そして短い計算によって対応する最小ウェイトのベクトルが Rankin–Cohen ブラケット [f,g]n であることがわかる。
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表現論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/06 20:05 UTC 版)
コンパクト群の表現論はピーター・ワイルの定理（英語版）によって基礎づけられた。ヘルマン・ワイル (Hermann Weyl) は続けて極大トーラスの理論に基づいてコンパクト連結リー群の詳細な指標理論を与えた。その結果のワイルの指標公式は20世紀の数学の影響力の大きい結果の1つであった。 ワイルの仕事とカルタンの定理（英語版）の合わせるとコンパクト群 G の表現論全体のサーベイが得られる。つまり、ピーター・ワイルの定理によって G の既約ユニタリ表現 ρ は（有限次元）ユニタリ群に入り、その像はコンパクト性によりユニタリ群の閉部分群となる。カルタンの定理は Im(ρ) がそれ自身ユニタリ群のリー部分群でなければならないと述べている。G がそれ自身リー群でないときは、ρ の核が無ければならない。さらに ρ の小さくなる核に対して、有限次元ユニタリ表現の逆系を構成でき、それにより G はコンパクトリー群の逆極限と同一視される。ここで極限で G の忠実表現が見つかるという事実はピーター・ワイルの定理の別の結果である。 コンパクト群の表現論の未知の部分はしたがって、大まかに言って、有限群の複素表現（英語版）に投げ返される。この理論は詳細にかなり豊かだが、質的によく理解されている。
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表現論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/11 23:07 UTC 版)
詳細は「対称群の表現論（英語版）」を参照 表現論の観点からは、対称式環も交代式環も n-変数多項式環の n 個の変数に対する対称群の作用（英語版）の部分表現と見ることができる（n 個の文字に対する置換が、それら文字からなる文字列（英語版）への作用を誘導することに注意せよ）。 対称群は、自明表現と符号表現のふたつの一次元表現を持つ。自明表現に対応するのが対称多項式で、符号表現に対応するのが交代多項式である。きちんと述べれば、任意の対称多項式からなるスカラー係数線型結合の全体が対称群の自明表現・任意の交代多項式からなるスカラー係数線型結合の全体が対称群の符号表現であり、これらは多項式全体の成す空間とそれら各々の表現とのテンソル積をとったものとして得られる。 標数 2 ではこれら二つの表現は区別されないから、状況はより複雑である。 三変数以上の多項式環への対称群の作用では、これら二つ以外の部分表現も出てくる。
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