線型代数

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線型代数学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/22 17:19 UTC 版)

線型代数学（せんけいだいすうがく、英: linear algebra）とは、線形空間と線形変換を中心とした理論を研究する代数学の一分野である。現代数学において基礎的な役割を果たし、幅広い分野に応用されている。また、これは特に行列・行列式・連立一次方程式に関する理論を含む。線形などの用字・表記の揺れについては線型性を参照。

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線型代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/20 00:27 UTC 版)

「回転 (数学)」の記事における「線型代数」の解説

行列を用いて回転を記述するには、回転させられる点 (x, y) をベクトルとして書いて、角 θ の回転を与えるように計算された行列を掛け合わせることによって ( x ′ y ′ ) = ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) ( x y ) なる記述を得る。ここで (x′, y′) は回転後の点の座標であり、この等式を書き下せば、x′ および y′ に関する式 x ′ = x cos ⁡ θ − y sin ⁡ θ y ′ = x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ . を得ることができる。二つのベクトル ( x y ) , ( x ′ y ′ ) は同じ大きさを持ち、予期された通りの角 θ を成す。

線型代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/20 00:27 UTC 版)

「回転 (数学)」の記事における「線型代数」の解説

詳細は「回転行列」を参照 二次元の場合と同様、点 (x, y, z) を点 (x′, y′, z′) に写す回転に対しても行列を用いることができる。ここで用いるのは 3 × 3 行列 A = ( a b c d e f g h i ) であり、これを点を表すベクトルに掛け合わせれば、 A ( x y z ) = ( a b c d e f g h i ) ( x y z ) = ( x ′ y ′ z ′ ) を得る。この行列 A は三次元特殊直交群 SO(3) の元、つまり行列式 1 の直交行列である。直交行列であるということは、その行ベクトルが互いに直交する単位ベクトルの集合（つまり正規直交基底）となることを意味する（列ベクトルについても同じことが言える）から、このことを使えば、行列が回転行列であるかの検討を付けたり確かめたりすることは容易である。回転行列の行列式の値は 1 でなければならず、ほかに直交行列が取れる行列式の値は -1 だけであって、この場合に得られる直交変換は鏡映、回映または点に関する反転であって回転ではない。 行列は、それが線型写像を直截に表現するものであるのと同様、特に多数の点を同時に変換する際の変換を表すものとしてもよく用いられるものである。様々な方法で表された回転は、それを行列表示に直すこともよく行われる。斉次座標系を用いれば回転も変換も同時に表すように拡張して扱うことができる。斉次座標系を備えたこの空間における変換は 4 × 4 行列で表され、これ自体は回転行列ではないけれども、その左上の 3 行 3 列は回転行列になっている。 行列を用いることの不利な点は主に、計算量が多くなることと、計算に持ち込むのが面倒であることである。行列に関しては数値的不安定性が増加しやすい傾向があるので、計算には直交性を確保することが要となるが、それも行列にとっては計算量の負担となるので頻繁に行っておく必要がある。

線型代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:56 UTC 版)

「外積代数」の記事における「線型代数」の解説

分解可能 k-ベクトルは幾何学的に解釈することができる。2-ベクトル u ∧ v は u, v で張られる、u と v を辺に持つ向き付けられた平行四辺形の面積で与えられる数の「重み」を持つ平面を表す。同様にして 3-ベクトル u ∧ v ∧ w は、u, v, w を辺とする平行六面体の体積で重み付けられた 3 次元空間を表す。

線型代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/15 16:52 UTC 版)

「Boost C++ライブラリ」の記事における「線型代数」の解説

Boostには、BLASのレベル1、2、3の各演算を実装したuBLASという線型代数 (linear algebra) ライブラリがある。 以下はベクトルと行列の乗算方法を表している。 #include #include #include using namespace boost::numeric::ublas;/* "y = Ax" example */int main(){ vector x(2); x(0) = 1; x(1) = 2; matrix A(2,2); A(0,0) = 0; A(0,1) = 1; A(1,0) = 2; A(1,1) = 3; vector y = prod(A, x); std::cout << y << std::endl; return 0;}