スペクトル分解 (関数解析学)
スペクトル分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「スペクトル分解」の解説
以上の準備のもと、直積分によるスペクトル分解を定式化する： 定理 (直積分によるスペクトル定理) ― H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をヒルベルト空間とし、Aを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素とする。このときAのスペクトルσ(A)上のσ-有限測度μAと可測構造つきヒルベルト空間族 ( H λ ) λ ∈ σ ( A ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in \sigma (A)}} が存在し、以下が成立するH13(p206-207)ヒルベルト空間としての同型写像 U : H → ~ ∫ σ ( A ) ⊕ H λ d μ A {\displaystyle U~:~{\mathcal {H}}{\tilde {\to }}\int _{\sigma (A)}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}} が存在する。さらにAU := UAU-1とするとき、任意の s ∈ D o m ( A U ) {\displaystyle s\in \mathrm {Dom} (A_{U})} に対し、 ( A U ( s ) ) ( λ ) = λ s ( λ ) {\displaystyle (A_{U}(s))(\lambda )=\lambda s(\lambda )} である。ここで、 D o m ( A U ) = { s ∈ ∫ σ ( A ) ⊕ H λ d μ A : ∫ ‖ λ s ( λ ) ‖ 2 d μ A < ∞ } {\displaystyle \mathrm {Dom} (A_{U})=\left\{s\in \int _{\sigma (A)}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}~:~\int \|\lambda s(\lambda )\|^{2}\mathrm {d} \mu _{A}<\infty \right\}} 。 上述の定理は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が無限次元の場合も、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をAの「固有空間」 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} の直積分に分解でき、しかも直積分の元sのAUによる像AU(s)の「 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} 成分」である(AU(s))(λ)はsの「 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} 成分」s(λ)を「固有値」λ倍したものになっている事を意味するように見えるので、 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} をλに対応するAの一般化した固有空間、 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} の元をλに対応するAの一般化した固有ベクトルであるとみなし得るH13(p147-148)。実際、スペクトル点τ∈σ(A)においてμ({τ})>0であれば、sτ∈ H τ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }} に対し切断を s ( λ ) = { s τ if λ = τ 0 otherwise {\displaystyle s(\lambda )={\begin{cases}s_{\tau }&{\text{if }}\lambda =\tau \\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} により定義すると、写像 m τ : s τ ∈ H τ ↦ s ( τ ) ∈ ∫ σ ( A ) ⊕ H λ d μ A {\displaystyle m_{\tau }~:~s_{\tau }\in {\mathcal {H}}_{\tau }\mapsto s(\tau )\in \int _{\sigma (A)}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}} は ⟨ s , s ⟩ = ∫ σ ( A ) ⟨ s ( λ ) , s ( λ ) ⟩ λ d μ A {\displaystyle \langle s,s\rangle =\int _{\sigma (A)}\langle s(\lambda ),s(\lambda )\rangle _{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}} ≥ ⟨ s τ s τ ⟩ μ A ( { τ } ) ≩ 0 if s τ ≠ 0 {\displaystyle \geq \langle s_{\tau }s_{\tau }\rangle \mu _{A}(\{\tau \})\gvertneqq 0\quad {\text{if }}s_{\tau }\neq 0} を満たすので、 m τ ( H τ ) {\displaystyle m_{\tau }({\mathcal {H}}_{\tau })} の元はAUの0でない固有ベクトルになる。しかしμ({τ})=0の場合にはmτが恒等的に0である為、 H τ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }} は通常の意味での固有空間にはならない。 直積分によるスペクトル定理は、前述した掛け算作用素によるスペクトル定理から容易に従う。実際、掛け算作用素によるスペクトル定理より、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は何らかのL2空間 L 2 ( X , μ ) {\displaystyle L^{2}(X,\mu )} と同型で、Aは L 2 ( X , μ ) {\displaystyle L^{2}(X,\mu )} 上で実数値関数 h ( x ) {\displaystyle h(x)} を乗じる作用素として表現できるので、hの像である実数直線R上に測度h*(μ)を入れれば、 L 2 ( X , μ ) ≃ ∫ R ⊕ H λ d h ∗ ( μ ) {\displaystyle L^{2}(X,\mu )\simeq \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} h_{*}(\mu )} 、 ここで H λ = h − 1 ( λ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }=h^{-1}(\lambda )} と表記できる。 H λ = h − 1 ( λ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }=h^{-1}(\lambda )} が{0}でないλの集合がσ(A)と一致する事を容易に確認できるので、上記の積分をσ(A)に制限すれば、直積分によるスペクトル定理が従う。
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