スペクトル分解 (関数解析学)
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/07 03:28 UTC 版)
数学の関数解析学の分野において、あるバナッハ空間 （関数解析学における基本概念の一つ）上の線型作用素 のスペクトルは、作用素 が 上に有界な逆作用素を持たないようなすべてのスカラー で構成される。そのようなスペクトルは、通常以下の三つの部分に分解（ぶんかい、英: decomposition）される：
- 1 スペクトル分解 (関数解析学)とは
- 2 スペクトル分解 (関数解析学)の概要
- 3 関連項目
スペクトル分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「スペクトル分解」の解説
以上の準備のもと、直積分によるスペクトル分解を定式化する： 定理 (直積分によるスペクトル定理) ― H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をヒルベルト空間とし、Aを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素とする。このときAのスペクトルσ(A)上のσ-有限測度μAと可測構造つきヒルベルト空間族 ( H λ ) λ ∈ σ ( A ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in \sigma (A)}} が存在し、以下が成立するH13(p206-207)ヒルベルト空間としての同型写像 U : H → ~ ∫ σ ( A ) ⊕ H λ d μ A {\displaystyle U~:~{\mathcal {H}}{\tilde {\to }}\int _{\sigma (A)}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}} が存在する。さらにAU := UAU-1とするとき、任意の s ∈ D o m ( A U ) {\displaystyle s\in \mathrm {Dom} (A_{U})} に対し、 ( A U ( s ) ) ( λ ) = λ s ( λ ) {\displaystyle (A_{U}(s))(\lambda )=\lambda s(\lambda )} である。ここで、 D o m ( A U ) = { s ∈ ∫ σ ( A ) ⊕ H λ d μ A : ∫ ‖ λ s ( λ ) ‖ 2 d μ A < ∞ } {\displaystyle \mathrm {Dom} (A_{U})=\left\{s\in \int _{\sigma (A)}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}~:~\int \|\lambda s(\lambda )\|^{2}\mathrm {d} \mu _{A}<\infty \right\}} 。 上述の定理は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が無限次元の場合も、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をAの「固有空間」 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} の直積分に分解でき、しかも直積分の元sのAUによる像AU(s)の「 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} 成分」である(AU(s))(λ)はsの「 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} 成分」s(λ)を「固有値」λ倍したものになっている事を意味するように見えるので、 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} をλに対応するAの一般化した固有空間、 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} の元をλに対応するAの一般化した固有ベクトルであるとみなし得るH13(p147-148)。実際、スペクトル点τ∈σ(A)においてμ({τ})>0であれば、sτ∈ H τ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }} に対し切断を s ( λ ) = { s τ if λ = τ 0 otherwise {\displaystyle s(\lambda )={\begin{cases}s_{\tau }&{\text{if }}\lambda =\tau \\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} により定義すると、写像 m τ : s τ ∈ H τ ↦ s ( τ ) ∈ ∫ σ ( A ) ⊕ H λ d μ A {\displaystyle m_{\tau }~:~s_{\tau }\in {\mathcal {H}}_{\tau }\mapsto s(\tau )\in \int _{\sigma (A)}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}} は ⟨ s , s ⟩ = ∫ σ ( A ) ⟨ s ( λ ) , s ( λ ) ⟩ λ d μ A {\displaystyle \langle s,s\rangle =\int _{\sigma (A)}\langle s(\lambda ),s(\lambda )\rangle _{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}} ≥ ⟨ s τ s τ ⟩ μ A ( { τ } ) ≩ 0 if s τ ≠ 0 {\displaystyle \geq \langle s_{\tau }s_{\tau }\rangle \mu _{A}(\{\tau \})\gvertneqq 0\quad {\text{if }}s_{\tau }\neq 0} を満たすので、 m τ ( H τ ) {\displaystyle m_{\tau }({\mathcal {H}}_{\tau })} の元はAUの0でない固有ベクトルになる。しかしμ({τ})=0の場合にはmτが恒等的に0である為、 H τ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }} は通常の意味での固有空間にはならない。 直積分によるスペクトル定理は、前述した掛け算作用素によるスペクトル定理から容易に従う。実際、掛け算作用素によるスペクトル定理より、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は何らかのL2空間 L 2 ( X , μ ) {\displaystyle L^{2}(X,\mu )} と同型で、Aは L 2 ( X , μ ) {\displaystyle L^{2}(X,\mu )} 上で実数値関数 h ( x ) {\displaystyle h(x)} を乗じる作用素として表現できるので、hの像である実数直線R上に測度h*(μ)を入れれば、 L 2 ( X , μ ) ≃ ∫ R ⊕ H λ d h ∗ ( μ ) {\displaystyle L^{2}(X,\mu )\simeq \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} h_{*}(\mu )} 、 ここで H λ = h − 1 ( λ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }=h^{-1}(\lambda )} と表記できる。 H λ = h − 1 ( λ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }=h^{-1}(\lambda )} が{0}でないλの集合がσ(A)と一致する事を容易に確認できるので、上記の積分をσ(A)に制限すれば、直積分によるスペクトル定理が従う。
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スペクトル分解
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「量子力学の数学的定式化」の記事における「スペクトル分解」の解説
μ : B ( R d ) → P ( H ) {\displaystyle \mu ~:~{\mathcal {B}}(\mathbf {R} ^{d})\to {\mathcal {P}}({\mathcal {H}})} をスペクトル測度とするとき、次の事実が成り立つことが知られているH13(p139)新井(p138)。ここで ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の内積である： 定理 ― 定理ψを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元とする。この時、写像 B ∈ B ( R d ) ↦ ⟨ ψ , μ ( B ) ψ ⟩ {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbf {R} ^{d})\mapsto \langle \psi ,\mu (B)\psi \rangle } はRd上の複素数値の測度である。 上述のように定義される測度を μ ψ ( B ) = ⟨ ψ , μ ( B ) ψ ⟩ {\displaystyle \mu _{\psi }(B)=\langle \psi ,\mu (B)\psi \rangle } と書くとき、次が成立する事が知られている： 定理・定義 (作用素値積分) ― μψによる（有界とは限らない）可測関数fのルベーグ積分は何らかの非有界線形作用素Ffを用いて、 ∫ R f ( λ ) d μ ψ = ⟨ ψ , F f ψ ⟩ {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }f(\lambda )\mathrm {d} \mu _{\psi }=\langle \psi ,F_{f}\psi \rangle } for ∀ ψ ∈ D o m ( F f ) {\displaystyle \forall \psi \in \mathrm {Dom} (F_{f})} 、 D o m ( F f ) = { ψ ∈ H : ∫ R | f ( λ ) | 2 d μ ψ < ∞ } {\displaystyle \mathrm {Dom} (F_{f})=\{\psi \in {\mathcal {H}}~:~\int _{\mathbf {R} }|f(\lambda )|^{2}\mathrm {d} \mu _{\psi }<\infty \}} と書けるH13(p202)。 この線形作用素Ffを F f = ∫ R f ( λ ) d μ {\displaystyle F_{f}=\int _{\mathbf {R} }f(\lambda )\mathrm {d} \mu } と表記し、スペクトル測度μによるfの作用素値積分(operator-valued integral)というH13(p139)。 なお任意の可測関数fに対しDom(Ff)は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で稠密であることが知られているのでH13(p203)、作用素値積分は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上稠密に定義された線形作用素である。またfが実数値可測関数の場合は作用素値積分は必ず自己共役作用素になる事も知られているH13(p204)。 以上の準備のもと、スペクトル定理を定式化する： 定理 (スペクトル測度によるスペクトル分解定理H13(p141)) ― H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をヒルベルト空間し、 A : H → H {\displaystyle A~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} を稠密に定義された非有界な任意の線形作用素とする。このときスペクトル測度μが一意に存在し、以下が成立する： A = ∫ R λ d μ {\displaystyle A=\int _{\mathbf {R} }\lambda \mathrm {d} \mu } なお、μはAのレゾルベント集合上で0になる事が知られているのでH13(p141)、上述の積分を A = ∫ σ ( A ) λ d μ {\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \mathrm {d} \mu } と書き表す事もできる。 スペクトル分解定理は前述した有限次元の場合の固有値分解 A = ∑ j = 1 n λ j P j {\displaystyle A=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}P_{j}} の無限次元版である。実際、ディラック測度δx(B)を δ x ( B ) = { 0 , x ∉ B ; 1 , x ∈ B {\displaystyle \delta _{x}(B)={\begin{cases}0,&x\not \in B;\\1,&x\in B\end{cases}}} により定義し、スペクトル測度μを μ ( B ) = ∑ j = 1 n δ λ j ( B ) P j {\displaystyle \mu (B)=\sum _{j=1}^{n}\delta _{\lambda _{j}}(B)P_{j}} とすれば、両者が一致する事を確認できる。
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