スペクトルの分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/06 08:28 UTC 版)
「スペクトル分解 (関数解析学)」の記事における「スペクトルの分解」の解説
h ∈ H とし、それに対応する σ(T) ⊂ R 上のスペクトル測度を μh とする。ルベーグの分解定理を応用することで、μh は以下の三つの互いに特異的な部分に分解される： μ = μ a c + μ s c + μ p p . {\displaystyle \,\mu =\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }.} ここで μac はルベーグ測度に関して絶対連続であり、μsc はルベーグ測度に関して特異的であり、μpp は純粋な点測度である。 これら三種類の測度はすべて線型作用の下で不変である。Hac を、スペクトル測度がルベーグ測度に関して絶対連続であるようなベクトルからなる部分空間とする。同様に Hpp と Hsc も定義する。これらの部分空間は T の下で不変である。例えば、h ∈ Hac および k = T h であるなら、χ を σ(T) 内のあるボレル集合の特性関数とすれば、 ⟨ k , χ ( T ) k ⟩ = ∫ σ ( T ) χ ( λ ) ⋅ λ 2 d μ h ( λ ) = ∫ σ ( T ) χ ( λ ) d μ k ( λ ) {\displaystyle \langle k,\chi (T)k\rangle =\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\cdot \lambda ^{2}d\mu _{h}(\lambda )=\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\;d\mu _{k}(\lambda )} が成立する。したがって λ 2 d μ h = d μ k {\displaystyle \lambda ^{2}d\mu _{h}=d\mu _{k}\,} であり、k ∈ Hac が成立する。さらに、スペクトル定理を適用することで H = H a c ⊕ H s c ⊕ H p p {\displaystyle H=H_{\mathrm {ac} }\oplus H_{\mathrm {sc} }\oplus H_{\mathrm {pp} }} が得られる。これは次の定義につながる： Hac に制限された T のスペクトルは、T の絶対連続スペクトル（absolutely continuous spectrum）と呼ばれ、σac(T) と表記される。 Hsc に制限された T のスペクトルは、T の特異スペクトル（singular spectrum）と呼ばれ、σsc(T) と表記される。 T の固有値の集合は T の純点スペクトル（pure point spectrum）と呼ばれ、σpp(T) と表記される。 T の固有値の閉包は、Hpp に制限された T のスペクトルである。したがって σ ( T ) = σ a c ( T ) ∪ σ s c ( T ) ∪ σ ¯ p p ( T ) {\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)\cup {{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}} が成立する。
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