ボレル集合とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

ボレル集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/26 14:52 UTC 版)

数学におけるボレル集合（ボレルしゅうごう、英: Borel set）は、位相空間の開集合系（あるいは閉集合系）から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合の総称である。名称はエミール・ボレルに由来する。

「ボレル集合」の続きの解説一覧

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「記述集合論」の記事における「ボレル集合」の解説

位相空間 X {\displaystyle X} のボレル集合のクラスは X {\displaystyle X} の開集合を含む最小のσ加法族である。その意味するところは X {\displaystyle X} のボレル集合は次を満たす最小の集まりということである： X {\displaystyle X} の任意の開集合はボレル集合である; もし A {\displaystyle A} がボレル集合ならば補集合 X ∖ A {\displaystyle X\setminus A} もそうである。すなわちボレル集合のクラスは補集合で閉じている。もし A n {\displaystyle A_{n}} がボレル集合の可算列ならば、和集合 ⋃ n ∈ N A n {\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}} はボレル集合である。すなわちボレル集合のクラスは可算和で閉じている。これに関する基本的な結果は任意の非可算な2つのポーランド空間 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} はボレル同型であることを示す。すなわち X {\displaystyle X} から Y {\displaystyle Y} への全単射で、ボレル集合の逆像はボレルであり、ボレル集合の順像はボレルであるようなものが存在する。これはポーランド空間の形をベール空間とカントール空間に制限して考えることの追加の正当性を与える。というのも他のどのポーランド空間もボレル集合のレベルでこれらの空間に同型だからである。

※この「ボレル集合」の解説は、「記述集合論」の解説の一部です。
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