ボレル部分群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:54 UTC 版)
ボレル部分群 Borel subgroups は線型代数群の構造論において重要である。代数的閉体 k 上の線型代数群 G に対して、G のボレル部分群とは滑らかで可解な連結（閉）部分群のなかで極大なものを指す。k 上の線型代数群 G は必ずボレル部分群を持つ。例えば、GLn の上三角行列からなる部分群 Bn はボレル部分群である。 理論における基本的な結果のひとつは、代数的閉体 k 上の連結群 G に含まれるどんなボレル部分群も適当な G(k) の元によって互いに共役であるというものである。（標準的な証明はボレルの不動点定理——連結可解群 G が代数的閉体 k 上の空でない完備多様体 X に正則に作用するならば、G の作用で固定される X の k 有理点が存在する——を使う。）GLn におけるボレル部分群の共役は、リー＝コルチンの定理（英語版）に達する：GLn に含まれる滑らかな連結可解部分群は上三角行列群の部分群と GLn において共役である。 任意の体 k に関して、G のボレル部分群 B は k の代数的閉包 k ¯ {\displaystyle {\bar {k}}} 上で B k ¯ {\displaystyle B_{\bar {k}}} が G k ¯ {\displaystyle G_{\bar {k}}} のボレル部分群である k 上の部分群と定義される。したがって G は k 上ではボレル部分群を持たないこともある。 G の閉部分群スキーム H に関して、商空間 G/H は k 上滑らかな準射影的スキームである。連結群 G の滑らかな部分群 P は G/P が k 上射影的（あるいは k 上固有的）であるとき放物型（英語版） parabolic という。ボレル部分群 B の重要な性質として、 G/B は旗多様体 flag variety と呼ばれる射影多様体になる。つまり、ボレル部分群は放物型部分群である。より精密には、代数的閉体 k に関して、ボレル部分群は G の極小放物型部分群に他ならない。逆に、ボレル部分群を含む任意の部分群は放物型である。したがって、固定したボレル群を含む G の線型代数部分群をすべて列挙することで、G の放物型部分群を G(k) 共役を除いてすべて列挙することができる。例えば、k 上の部分群 P ⊂ GL3 で上三角行列からなるボレル部分群 B3 を含むものは B3 GL3 { [ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ] } {\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}} { [ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 ∗ ] } {\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}} である。対応する等質射影多様体（英語版） projective homogeneous varieties GL3/P は、それぞれ 線型空間の鎖 0 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ A k 3 ( dim V i = i ) {\displaystyle 0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \mathbf {A} _{k}^{3}\quad (\dim V_{i}=i)} すべてから成る旗多様体 点 A3 に含まれる直線（一次元部分空間）の射影空間 P2 A3 に含まれる平面の双対射影空間 P2 である。
※この「ボレル部分群」の解説は、「線型代数群」の解説の一部です。
「ボレル部分群」を含む「線型代数群」の記事については、「線型代数群」の概要を参照ください。
- ボレル部分群のページへのリンク
