線型代数群
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数学において、線型代数群（せんけいだいすうぐん、英: linear algebraic group）とは、 n 次正則行列の全体が（行列の積に関して）成す群（すなわち一般線型群）の部分群であって、それが多項式系によって定義されるものを総称して言う。例えば M′M = 1 という関係式で定義される直交群は線型代数群である。（ここで M′ は行列 M の転置。）
多くのリー群は実数体あるいは複素数体上の線型代数群としてみることができる。（例えば、すべてのコンパクトリー群や単純リー群 SLn(R) といった多くの非コンパクト群は R 上の線型代数群と見做せる。）単純リー群はヴィルヘルム・キリングとエリー・カルタンによって1880年代から1890年代にかけて分類された。当時は群構造が多項式で定義されている——代数群である——という事実が特別に利用されることはなかった。マウラー、シュヴァレー、コルチン[1] などが代数群の理論の創始者である。1950年代にアルマン・ボレルは今日存在する代数群の理論の多くを築いた。
シュヴァレー群の定義は初期におけるこの理論の用途のひとつであった。
例
正の整数 n に対して、 n 次正則行列から成る体 k 上の一般線型群 GLn は k 上の線型代数群である。これは
線型代数群
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「線型代数群 」も参照 線型代数群（より一般には、アフィン群スキーム（英語版）(group scheme)）は、R や C よりも一般的な体上でのリー群の代数幾何学と類似している。特に、有限体上では、線型代数群はリー型の有限群（英語版）(finite groups of Lie type)をもたらす。線型代数群はリー群の分類と非常によく似た分類ができるが、ザリスキー位相が比較的弱いため解析学のテクニックがもはや有効でないので、それらの表現論は異なっていて少ししか理解されておらず、別のテクニックを必要とする。
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