フェルマーの最終定理とは?

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フェルマーの最終定理

17世紀数学者フェルマーは、古代ギリシャ数学者ディオファントスが記した「算術」という書物研究していたが、その書物欄外様々な書き込みを残した。この書物にはピタゴラスの定理三平方の定理)についての記述があったが、その欄外に、

2よりも大きなべき指数 n について、 an+bn=cn をみたす3つの整数 a, b, c を見出すことは不可能である。私はこれについてのまったくすばらし証明を得たが、ここの余白は狭すぎて書き記すことができない

書き込んだ。ここに言う「べき指数 n 」は自然数である。

フェルマーは他にも数多く予想を残し、すべては決着がついたが、この予想だけは証明することも、反例をあげることもできなかったため、フェルマーの最終定理と呼ばれた。フェルマーの大定理または単にフェルマー予想とも呼ばれることもある。

フェルマーの最終定理の n を2とすると、「a2 + b2 = c2」というピタゴラスの定理三平方の定理)となる。これをみたす自然数 a, b, c は(3, 4, 5)、(5, 12, 13)、(7, 24, 25)のように無数に存在する。ちなみにピタゴラスの定理三平方の定理)をみたす自然数 a, b, c はピタゴラス数呼ばれる

フェルマーの最終定理は、数学界最高の謎であり、数多く数学者がその真偽証明ていったわけだが、350年もの間解決をみるに至らなかった。1994年になり、プリンストン大学アンドリュー・ワイルズがついにフェルマーの最終定理の完全な証明成功した。その証明谷村豊・志村五郎予想経由するものであり、他にも日本人数学者結果寄与している。

フェルマーの最終定理と似たものに「オイラーの予想」というものがあり「x4 + y4 + z4 = w4」これを成立する自然数の解は存在しないオイラーは言っていた。


フェルマーの最終定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/04/10 08:23 UTC 版)

フェルマーの最終定理(フェルマーのさいしゅうていり、Fermat's Last Theorem)とは、3 以上の自然数 n について、xn + yn = zn となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理のことである[注釈 1]フェルマーの大定理とも呼ばれる。フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、360年後にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった[1]


注釈

  1. ^ これに対して n = 2 のとき、x2 + y2 = z2 を満たす自然数の組 (x, y, z) は無数に存在し、ピタゴラス数と呼ばれる。
  2. ^ フェルマーの書き込み入りの『算術』原本は、今日では失われている。フェルマーが当時読んでいた『算術』は、1621年にギリシア語からラテン語に翻訳された版である
  3. ^ ここで、平方数とは有理数の平方を意味する。他の冪も同様。よって、『算術』の元の問題を現代風に表現すれば、有理数 a に対し、x2 + y2 = a2 の正の有理数解を(1つ)求めよ、ということである。
  4. ^ 非正則素数が無限に存在することは1915年にイェンセンによって証明された[16]
  5. ^ カール・セーガンは以下のように述べている。
     私はときどき、宇宙人と「コンタクト」しているという人から手紙をもらうことがある。「宇宙人に何でも質問してください」と言われるので、ここ数年はあらかじめ短い質問リストを用意している。聞くところによると、宇宙人はとても進歩しているそうだ。そこでこんな質問をしてみる――「フェルマーの最終定理を簡単に証明してください」。あるいは、ゴルトバッハの予想でもいい。もちろん宇宙人は、「フェルマーの最終定理」という呼び方はしないだろうから、その内容を説明しなくてはならない。そこで例の、べき 指数つきのごく簡単な式を書いておくのだが、返事をもらったことはただの一度もない。 — カール・セーガン、『カール・セーガン 科学と悪霊を語る青木薫訳、新潮社1997年9月20日。ISBN 4-10-519203-5。pp. 108ff

出典

  1. ^ Newton 2019年2月号 p86
  2. ^ Panchishkin & Manin 2007, p. 341
  3. ^ 足立 2006, pp. 93-95
  4. ^ 足立 2006, pp. 99-101
  5. ^ 足立 2006, pp. 137-139
  6. ^ 足立 2006, pp. 139-140
  7. ^ 足立 2006, p. 140
  8. ^ 足立 2006, p. 148
  9. ^ 足立 2006, pp. 140-148
  10. ^ 足立 2006, pp. 150-156
  11. ^ a b c 足立 2006, p. 150
  12. ^ 足立 2006, p. 231
  13. ^ 足立 2006, pp. 156-165
  14. ^ 足立 2006, pp. 166-218
  15. ^ 足立 2006, p. 215
  16. ^ 足立 2006, pp. 217, 227
  17. ^ 足立 2006, pp. 223-224
  18. ^ 足立 2006, p. 220
  19. ^ 足立 2006, pp. 215, 226
  20. ^ 1995年2月の毎日新聞縮小版より
  21. ^ 新スタートレック』38話「ホテル・ロイヤルの謎」など


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