フェルマ‐の‐さいしゅうていり【フェルマの最終定理】
フェルマーの最終定理
17世紀の数学者フェルマーは、古代ギリシャの数学者ディオファントスが記した「算術」という書物を研究していたが、その書物の欄外に様々な書き込みを残した。この書物にはピタゴラスの定理（三平方の定理）についての記述があったが、その欄外に、
2よりも大きなべき指数 n について、 an＋bn=cn をみたす3つの整数 a, b, c を見出すことは不可能である。私はこれについてのまったくすばらしい証明を得たが、ここの余白は狭すぎて書き記すことができない。
フェルマーは他にも数多くの予想を残し、すべては決着がついたが、この予想だけは証明することも、反例をあげることもできなかったため、フェルマーの最終定理と呼ばれた。フェルマーの大定理または単にフェルマーの予想とも呼ばれることもある。
フェルマーの最終定理の n を2とすると、「a2 + b2 = c2」というピタゴラスの定理（三平方の定理）となる。これをみたす自然数 a, b, c は（3, 4, 5）、（5, 12, 13)、（7, 24, 25）のように無数に存在する。ちなみに、ピタゴラスの定理（三平方の定理）をみたす自然数 a, b, c はピタゴラス数と呼ばれる。
フェルマーの最終定理は、数学界最高の謎であり、数多くの数学者がその真偽を証明していったわけだが、350年もの間解決をみるに至らなかった。1994年になり、プリンストン大学のアンドリュー・ワイルズがついにフェルマーの最終定理の完全な証明に成功した。その証明は谷村豊・志村五郎の予想を経由するものであり、他にも日本人数学者の結果が寄与している。
フェルマーの最終定理と似たものに「オイラーの予想」というものがあり「x4 + y4 + z4 = w4」これを成立する自然数の解は存在しないとオイラーは言っていた。
フェルマーの最終定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/02 03:52 UTC 版)
フェルマーの最終定理（フェルマーのさいしゅうていり、英: Fermat's Last Theorem）とは、3 以上の自然数 n について、xn + yn = zn となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理である[注釈 1]。
注釈
- ^ これに対して n = 2 のとき、x2 + y2 = z2 を満たす自然数の組 (x, y, z) は無数に存在し、ピタゴラス数と呼ばれる。
- ^ フェルマーの書き込み入りの『算術』原本は、今日では失われている。フェルマーが当時読んでいた『算術』は、1621年にフランスの貴族バシェがギリシア語の原文にラテン語の翻訳を追加した対訳版である[2][3]。
- ^ 48個の書き込みの全訳は足立 (1986)に収録されている。
- ^ ここで、平方数とは有理数の平方を意味する。他の冪も同様。よって、『算術』の元の問題を現代風に表現すれば、有理数 a に対し、x2 + y2 = a2 の正の有理数解を（1つ）求めよ、ということである。
- ^ 定理の証明がなされた1995年よりも前からこの予想を「定理」と呼んでいたことには無理があるが、反例も挙げられておらず、予想自体は「真であろう」と誰もが予測したため、「定理」と呼ばれるようになった。
- ^ 非正則素数が無限に存在することは1915年にヨハン・イェンセンによって証明された[18]。
- ^ カール・セーガンは以下のように述べている。私はときどき、宇宙人と「コンタクト」しているという人から手紙をもらうことがある。「宇宙人に何でも質問してください」と言われるので、ここ数年はあらかじめ短い質問リストを用意している。聞くところによると、宇宙人はとても進歩しているそうだ。そこでこんな質問をしてみる――「フェルマーの最終定理を簡単に証明してください」。あるいは、ゴルトバッハの予想でもいい。もちろん宇宙人は、「フェルマーの最終定理」という呼び方はしないだろうから、その内容を説明しなくてはならない。そこで例の、
冪 （） 指数つきのごく簡単な式を書いておくのだが、返事をもらったことはただの一度もない。 — カール・セーガン、『カール・セーガン 科学と悪霊を語る』青木薫訳、新潮社、1997年9月20日。ISBN 4-10-519203-5。pp. 108ff
出典
- ^ Newton 2019年2月号 p86
- ^ 足立 1995, pp. 40f
- ^ 足立 2006, pp. 17, 87–95
- ^ Panchishkin & Manin 2007, p. 341
- ^ 足立 2006, pp. 93–95
- ^ 足立 2006, pp. 99–101
- ^ 足立 2006, pp. 137–139
- ^ 足立 2006, pp. 139–140
- ^ 足立 2006, p. 140
- ^ 足立 2006, p. 148
- ^ 足立 2006, pp. 140–148
- ^ 足立 2006, pp. 150–156
- ^ a b c 足立 2006, p. 150
- ^ 足立 2006, p. 231
- ^ 足立 2006, pp. 156–165
- ^ 足立 2006, pp. 166–218
- ^ 足立 2006, p. 215
- ^ 足立 2006, pp. 217, 227
- ^ 足立 2006, pp. 223–224
- ^ 足立 2006, p. 220
- ^ 足立 2006, pp. 215, 226
- ^ 足立 1995, pp. 17, 128
- ^ 1995年2月の毎日新聞縮小版より
- ^ 『Newton別冊 数学の世界[増補第3版]』ニュートンプレス、2019年11月5日、156頁。
- ^ 『新スタートレック』38話「ホテル・ロイヤルの謎」など
- ^ SHINICHI MOCHIZUKI; IVAN FESENKO, YUICHIRO HOSHI, ARATA MINAMIDE, AND WOJCIECH POROWSKI (30 November 2020). Explicit Estimates in Inter-universal Teichm¨uller Theory (PDF) (Report). 京都大学数理解析研究所. 2020年12月5日閲覧。
- ^ Singh, Simon (2013) (英語). The Simpsons and Their Mathematical Secrets. A&C Black. pp. 35–36. ISBN 978-1-4088-3530-2
フェルマーの最終定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/24 17:06 UTC 版)
素数 p に対して、 x p + y p = z p {\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}} の左辺を、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} 上で分解すると、 ( x + y ) ( x + ζ p y ) ⋯ ( x + ζ p p − 1 y ) = z p {\displaystyle (x+y)(x+\zeta _{p}y)\cdots (x+\zeta _{p}^{p-1}y)=z^{p}} となる。ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、 p = 23 {\displaystyle p=23} のとき、それが成立しないことを示した。そのため、 p = 23 {\displaystyle p=23} (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。 クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。 クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。 素数 p は、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の類数を割り切らない。 正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。 クンマーの補題 素数 p が正則素数であれば、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数 ε を、 ε ≡ a ( mod ( 1 − ζ p ) p ) {\displaystyle \textstyle \varepsilon \equiv a\ (\operatorname {mod} \ (1-\zeta _{p})^{p})} となる有理整数 a が存在するようにとると、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数 ε 0 {\displaystyle \textstyle \varepsilon _{0}} が存在して、 ε = ε 0 p {\displaystyle \textstyle \varepsilon =\varepsilon _{0}^{p}} と表される。 正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。
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フェルマーの最終定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 03:51 UTC 版)
ただし指数が十分大きい場合。どの程度大きければよいかは K(ε) に依存する。定理自体は、ABC予想とは独立にワイルズが証明した。ある K(ε) が具体的に求まれば、有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 ≥ 4 に対して証明が可能である。ε = 1 のとき K(1) = 1 という予想もあり、この仮定の下で、指数が 6 以上の場合は直ちに証明される (Granville & Tucker 2002)。望月らは、フェルマーの最終定理の別証明を与えたとプレプリントで公表し、いくつかの誤りを認めた後2021年10月11日に別証明の達成を宣言した。
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フェルマーの最終定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/12 23:54 UTC 版)
「ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明」の記事における「フェルマーの最終定理」の解説
1637年に書き表されたフェルマーの最終定理は以下を満たす3つの自然数 a, b, c が存在しないことを述べている。 a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} ただし n は 3 以上の自然数である。
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