円分体とは？わかりやすく解説

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円分体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/02/18 06:16 UTC 版)

円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の $m(>2)$ 乗根 $\textstyle \zeta (\neq \pm 1)$ を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

注釈

^ 有理整数である素数のこと。
^ $m=4k+2$ としたとき、 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})=\mathbb {Q} (\zeta _{2k+1})$ であるので、 $\textstyle m\not \equiv 2{\pmod {4}}$ としてよい。
^ この証明は、ガウスによる4番目の証明である。(1805年8月30日に証明)^[1]
^ $\textstyle h_{1}(p)=\gamma (p)\prod _{\chi \in S}L(1,\chi )$ が成立するので、ディリクレのL関数の積が 1 に収束することと同値である。
^ 実際は、円分体に対して、直接類数公式で求めるのが普通である。
^ マイレ(Maillet)の行列という。
^ 各 δ_k は、 $\textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})$ の正の実数である単数であり、クンマー単数または円単数と呼ばれる。

出典

^ 倉田 1992, p. ii.
^ 足立 2006.

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