円分体の類数公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/24 17:06 UTC 版)
円分体の類数を求めるには、 h ( m ) = h 1 ( m ) h 2 ( m ) {\displaystyle h(m)=h_{1}(m)h_{2}(m)} より、第1因子と第2因子を求めればよい。 第1因子 h 1 ( m ) = δ ( 2 m ) 1 2 φ ( m ) − 1 ∏ χ ∈ S ∑ n = 1 m − 1 χ ( n ) n {\displaystyle h_{1}(m)={\frac {\delta }{(2m)^{{\frac {1}{2}}\varphi (m)-1}}}\prod _{\chi \in S}\sum _{n=1}^{m-1}\chi (n)n} 。 ここで、 δ = { 1 ( m ≢ 0 ( mod 4 ) ) , 1 2 ( m ≡ 0 ( mod 4 ) ) , {\displaystyle \delta ={\begin{cases}1&(m\not \equiv 0{\pmod {4}}),\\{\frac {1}{2}}&(m\equiv 0{\pmod {4}}),\end{cases}}} S は、 χ ( − 1 ) = − 1 {\displaystyle \chi (-1)=-1} を満たす、法 m に関する指標の集合とする。 特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。 h 1 ( p ) = 1 ( 2 p ) ( p − 3 ) / 2 | ∏ χ ∈ S ∑ k = 1 p − 1 χ ( k ) k | {\displaystyle h_{1}(p)={\frac {1}{(2p)^{(p-3)/2}}}\left|\prod _{\chi \in S}\sum _{k=1}^{p-1}\chi (k)k\right|} 。 m が素数のとき、以下の様な式がある。 h 1 ( p ) = 1 ( 2 p ) ( p − 3 ) / 2 | G ( η ) G ( η 2 ) ⋯ G ( η p − 2 ) | {\displaystyle h_{1}(p)={\frac {1}{(2p)^{(p-3)/2}}}|G(\eta )G(\eta ^{2})\cdots G(\eta ^{p-2})|} ここで、η は、1 の原始 p − 1 {\displaystyle p-1} 乗根とし、 G ( X ) = ∑ j = 0 p − 2 g j X j {\displaystyle \textstyle G(X)=\sum _{j=0}^{p-2}g_{j}X^{j}} 。 但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、 j = 0 , 1 , … , p − 2 {\displaystyle \textstyle j=0,1,\ldots ,p-2} に対して、 1 ≦ g j ≦ p − 1 {\displaystyle \textstyle 1\leqq g_{j}\leqq p-1} は、 g j ≡ g j ( mod p ) {\displaystyle \textstyle g^{j}\equiv g_{j}\ (\operatorname {mod} \ p)} を満たす正整数とする。 p の倍数ではない整数 r に対して、 1 ≦ R ( r ) ≦ p − 1 {\displaystyle \textstyle 1\leqq R(r)\leqq p-1} を、 r ≡ R ( r ) ( mod p ) {\displaystyle \textstyle r\equiv R(r)\ (\operatorname {mod} \ p)} を満たすようにとる。 また、 1 ≦ r ′ ≦ p − 1 {\displaystyle \textstyle 1\leqq r'\leqq p-1} を、 r r ′ ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle \textstyle rr'\equiv 1\ (\operatorname {mod} \ p)} を満たすようにとる。 M p = ( R ( r s ′ ) ) r , s = 1 , 2 , … , ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle M_{p}=(R(rs'))_{r,s=1,2,\ldots ,(p-1)/2}} とおくと、 h 1 ( p ) = 1 p ( p − 3 ) / 2 | det M p | {\displaystyle h_{1}(p)={\frac {1}{p^{(p-3)/2}}}|\det M_{p}|} である。 第2因子 h 2 ( m ) = 2 1 2 φ ( m ) − 1 R ∏ χ ∈ T ∑ n = 1 [ m − 1 2 ] χ ( n ) log | 1 − ζ m n | {\displaystyle h_{2}(m)={\frac {2^{{\frac {1}{2}}\varphi (m)-1}}{R}}\prod _{\chi \in T}\sum _{n=1}^{[{\frac {m-1}{2}}]}\chi (n)\log |1-\zeta _{m}^{n}|} 。 ここで、R は、 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} の単数基準、T は、 χ ( − 1 ) = 1 {\displaystyle \chi (-1)=1} を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。 特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。 h 2 ( p ) = 2 ( p − 3 ) / 2 R ∏ k = 1 ( p − 3 ) / 2 | ∑ j = 0 ( p − 3 ) / 2 η 2 k j log | 1 − ζ p g j | | {\displaystyle h_{2}(p)={\frac {2^{(p-3)/2}}{R}}\prod _{k=1}^{(p-3)/2}\left|\sum _{j=0}^{(p-3)/2}\eta ^{2k^{j}}\log |1-\zeta _{p}^{g^{j}}|\right|} 。 ここで、η は、1 の原始 p − 1 {\displaystyle p-1} 乗根、g は、法 p に対する原始根とする。 m が素数のとき、以下の様な式がある。 k = 2 , 3 , … , ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle \textstyle k=2,3,\ldots ,(p-1)/2} に対して、 δ k = ( 1 − ζ p k ) ( 1 − ζ p − k ) ( 1 − ζ ) ( 1 − ζ − 1 ) {\displaystyle \delta _{k}={\sqrt {\textstyle {\frac {(1-\zeta _{p}^{k})(1-\zeta _{p}^{-k})}{(1-\zeta )(1-\zeta ^{-1})}}}}} とおく。 g を法 p に関する原始根とし、 δ = δ g {\displaystyle \delta =\delta _{g}} とおく。 また、σ を、 σ ( ζ p ) = ζ p g {\displaystyle \textstyle \sigma (\zeta _{p})=\zeta _{p}^{g}} を満たす、 Gal ( Q ( ζ p ) / Q ) {\displaystyle \textstyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )} の生成元とする。 M = ( log σ i + j ( δ ) ) i , j = 0 , 1 , … , ( p − 5 ) / 2 {\displaystyle M=(\log \sigma ^{i+j}(\delta ))_{i,j=0,1,\ldots ,(p-5)/2}} とおくと、 h 2 ( p ) = 2 ( p − 3 ) / 2 R | det M | {\displaystyle h_{2}(p)={\frac {2^{(p-3)/2}}{R}}|\det M|} 。 但し、R は、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数基準とする。
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