一般的な類数公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/19 07:08 UTC 版)
以下のように定義する。 K を数体とする。 [K : Q] = n= r1 + 2r2 であるとする。ここに r 1 {\displaystyle r_{1}} は K の実埋め込みの数を表し、 2 r 2 {\displaystyle 2r_{2}} は K の複素埋め込みの数を表す。 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} を K のデデキントのゼータ函数とする。 h K {\displaystyle h_{K}} は類数、すなわち K のイデアル類群の元の数 Reg K {\displaystyle \operatorname {Reg} _{K}} は K の単数基準（レギュレータ） w K {\displaystyle w_{K}} は K に含まれる1の冪根の数 D K {\displaystyle D_{K}} は代数拡大 K/Q の判別式（英語版） すると、次の定理が成り立つ。 定理（類数公式） K のデデキントゼータ函数 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} は、 ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} で絶対収束し、s = 1 に唯一の一位の極を持つ複素平面全体で定義される有理型函数へ拡張（解析接続）できる。その極における留数は lim s → 1 ( s − 1 ) ζ K ( s ) = 2 r 1 ⋅ ( 2 π ) r 2 ⋅ h K ⋅ Reg K w K ⋅ | D K | {\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h_{K}\cdot \operatorname {Reg} _{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}} である。 これが最も一般的な「類数公式」である。特別な場合、例えば K が Q の円分拡大体のときには、より精密な類数公式が存在する。 「円分体#円分体の類数公式」も参照
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