円分体の類数の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/24 17:06 UTC 版)
以下において、p を奇素数とする。 円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} の類数を h ( m ) {\displaystyle h(m)} 、最大実部分体 Q ( ζ m + 1 / ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})} の類数を h 2 ( m ) {\displaystyle h_{2}(m)} とすると、 h ( m ) = h 1 ( m ) h 2 ( m ) {\displaystyle h(m)=h_{1}(m)h_{2}(m)} ( h 1 ( m ) {\displaystyle h_{1}(m)} は有理整数)と表すことができる。このとき、 h 1 ( m ) {\displaystyle h_{1}(m)} を第1因子または相対類数、 h 2 ( m ) {\displaystyle h_{2}(m)} を第2因子または実類数という。 第1因子については、以下の様な性質がある。 素数 p に対して、p が h ( p ) {\displaystyle h(p)} を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。 つまり、第1因子が p で割り切れないならば、p は正則素数である。 この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。 素数 p に対して、p が第1因子を割り切る必要十分条件は、 p 2 {\displaystyle p^{2}} が、 ∑ j = 1 p − 1 j 2 k {\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{p-1}j^{2k}} を割り切る様な整数 k ( 1 ≦ k ≦ ( p − 3 ) / 2 ) {\displaystyle \textstyle (1\leqq k\leqq (p-3)/2)} が存在することである。 h 1 ( p ) {\displaystyle h_{1}(p)} が奇数であるならば、 h 2 ( p ) {\displaystyle h_{2}(p)} は奇数である。 クンマーは、第1因子の増大度に対して、 lim p → ∞ h 1 ( p ) / γ ( p ) = 1 {\displaystyle \textstyle \lim _{p\to \infty }h_{1}(p)/\gamma (p)=1} と予想した。但し、 γ ( p ) = p ( p + 3 ) / 4 / ( 2 ( p − 3 ) / 2 π ( p − 1 ) / 2 ) {\displaystyle \textstyle \gamma (p)=p^{(p+3)/4}/(2^{(p-3)/2}\pi ^{(p-1)/2})} 。 この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。 lim p → ∞ log ( h 1 ( p ) / γ ( p ) ) log p = 0 {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {\log(h_{1}(p)/\gamma (p))}{\log p}}=0} 。 第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。 q を素数とし、 n > 1 {\displaystyle n>1} とする。 p = ( 2 q m ) 2 + 1 {\displaystyle p=(2qm)^{2}+1} が素数であるならば、 h 2 ( p ) > 2 {\displaystyle h_{2}(p)>2} である。 ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、p は h 2 ( p ) {\displaystyle h_{2}(p)} を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明である。
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