平方剰余の相互法則とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

平方剰余の相互法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/04 21:31 UTC 版)

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平方剰余（英語版）（へいほうじょうよ、英: quadratic residue）とは、ある自然数を法としたときの平方数のことであり、平方剰余の相互法則（へいほうじょうよのそうごほうそく、英: law of quadratic reciprocity）は、ある整数 $a$ が別の整数 $p$ の平方剰余であるか否かを判定する法則である。

定義

整数 $a$ と $p$ とが互いに素であるとする。合同式

x^{2}\equiv a{\pmod {p}}

カテゴリ

平方剰余の相互法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/24 17:06 UTC 版)

「円分体」の記事における「平方剰余の相互法則」の解説

ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示した。さらに、 Q ( ζ 3 ) , Q ( ζ 4 ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{3}),\ \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{4})} 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。

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