p = 3 の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/16 01:27 UTC 版)
「平方剰余の相互法則」の記事における「p = 3 の場合」の解説
( a 3 ) = { 1 if a ≡ 1 ( mod 3 ) − 1 if a ≡ 2 ( mod 3 ) 0 if a ≡ 0 ( mod 3 ) {\displaystyle \left({\frac {a}{3}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}a\equiv 1{\pmod {3}}\\-1&{\text{if }}a\equiv 2{\pmod {3}}\\0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {3}}\end{cases}}} となる。q が 3 と異なる奇素数ならば、 ( q 3 ) = { 1 if q ≡ 1 ( mod 6 ) − 1 if q ≡ 5 ( mod 6 ) {\displaystyle \left({\frac {q}{3}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}q\equiv 1{\pmod {6}}\\-1&{\text{if }}q\equiv 5{\pmod {6}}\end{cases}}} と表せる。ここで、平方剰余の相互法則を使うと、 ( 3 q ) ( q 3 ) = ( − 1 ) 3 − 1 2 ⋅ q − 1 2 = ( − 1 ) q − 1 2 {\displaystyle {\biggl (}{\frac {3}{q}}{\biggr )}{\biggl (}{\frac {q}{3}}{\biggr )}=(-1)^{{\frac {3-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}} となり、 ( 3 q ) = { 1 if q ≡ ± 1 ( mod 12 ) − 1 if q ≡ ± 5 ( mod 12 ) {\displaystyle \left({\frac {3}{q}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}q\equiv \pm 1{\pmod {12}}\\-1&{\text{if }}q\equiv \pm 5{\pmod {12}}\end{cases}}} と求められる。今 q は 3 とも −1 とも互いに素であり、このことと第1補充法則より ( − 3 q ) = ( − 1 q ) ( 3 q ) = ( − 1 ) q − 1 2 ⋅ 2 ( q 3 ) = ( q 3 ) = { 1 if q ≡ 1 ( mod 6 ) − 1 if q ≡ 5 ( mod 6 ) {\displaystyle \left({\frac {-3}{q}}\right)=\left({\frac {-1}{q}}\right)\left({\frac {3}{q}}\right)=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}\cdot 2}{\biggl (}{\frac {q}{3}}{\biggr )}={\biggl (}{\frac {q}{3}}{\biggr )}={\begin{cases}1&{\text{if }}q\equiv 1{\pmod {6}}\\-1&{\text{if }}q\equiv 5{\pmod {6}}\end{cases}}} と求められる。即ち、3 と異なる奇素数 q に対して、q が x2 + 3 を割り切るような整数 x が存在することと、q が 6 を法として 1 に合同であることは同値である。
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