平方剰余の相互法則との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 06:01 UTC 版)
「アルティン相互法則」の記事における「平方剰余の相互法則との関係」の解説
p と ℓ を異なる奇素数とし、ℓ* = (−1)(ℓ−1)/2ℓ (いつも 1 (mod 4) である) とする。二次相互法則とは ( ℓ ∗ p ) = ( p ℓ ) {\displaystyle \left({\frac {\ell ^{\ast }}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right)} なる関係のこと。二次相互法則とアルティン相互法則の関係は、次のように、二次体 F = Q ( ℓ ∗ ) {\displaystyle \scriptstyle F=\mathbf {Q} ({\sqrt {\ell ^{\ast }}})} と円分体 L = Q ( ζ ℓ ) {\displaystyle \scriptstyle L=\mathbf {Q} (\zeta _{\ell })} を研究することで得られる。この F は L の部分体である。H = Gal(L/F) および G = Gal(L/Q) とすると、Gal(F/Q) = G/H である。G/H は位数が 2 であるので、部分群 H は G=(Z/ℓZ)× において平方元全体のなす部分群である。アルティン記号の基本的性質により、ℓと素なイデアル (n) に対し、 ( F / Q ( n ) ) = ( L / Q ( n ) ) (mod H ) . {\displaystyle \left({\frac {F/\mathbf {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbf {Q} }{(n)}}\right){\text{ (mod }}H).} となることがわかる。とくに n = p とすると、 ( ℓ ∗ p ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {\ell ^{\ast }}{p}}\right)=1} であることと、H の中で p (mod ℓ) であること、すなわち、p は modulo ℓ で二乗であることが同値であることがわかる。
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