平方数と三角数の和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 09:06 UTC 版)
三平方和定理により、8N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから 8 N + 1 = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y ) 2 + ( 2 z ) 2 {\displaystyle 8N+1=(2x+1)^{2}+(2y)^{2}+(2z)^{2}\,} N = x ( x + 1 ) 2 + ( y + z 2 ) 2 + ( y − z 2 ) 2 {\displaystyle N={\frac {x(x+1)}{2}}+\left({\frac {y+z}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {y-z}{2}}\right)^{2}} となる x, y, z が存在する。法 8 で考え、y, z は共に偶数か共に奇数である。したがって、全ての自然数は高々一個の三角数と二個の平方数の和で表される。同じく三平方和定理により、4N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから 4 N + 1 = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y ) 2 + ( 2 z ) 2 {\displaystyle 4N+1=(2x+1)^{2}+(2y)^{2}+(2z)^{2}\,} N = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y ) 2 + ( 2 z ) 2 − 1 4 = ( x + y ) ( x + y + 1 ) 2 + ( x − y ) ( x − y + 1 ) 2 + z 2 {\displaystyle N={\frac {(2x+1)^{2}+(2y)^{2}+(2z)^{2}-1}{4}}={\frac {(x+y)(x+y+1)}{2}}+{\frac {(x-y)(x-y+1)}{2}}+z^{2}} となる x, y, z が存在する。したがって、全ての自然数は高々二個の三角数と一個の平方数の和で表される。 2008年4月23日、孫智偉らは「すべての正整数は、平方数と奇数の平方数と三角数との和として表せる」ことを示したと発表した。
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