平方根の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/20 00:40 UTC 版)
特定の条件を満たす x = 2 + 2 + 2 + 2 + ⋯ {\displaystyle x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}} のような無限多重平方根は有理数を表す。根号の中にも x が実現されていることに気付けば方程式 x = 2 + x {\displaystyle x={\sqrt {2+x}}} が得られるから、この有理数は求められる。つまり、この方程式を解いて x = 2 がわかる（両辺自乗して得られる二次方程式のもう一つの解 x = −1 は不適である。それは、規約により右辺が 2 + x の「正」の平方根を意味するから、左辺 x もまた正でなければならないことによる。）。同じやり方は、一般に n > 0 に対して n + n + n + n + ⋯ = 1 2 ( 1 + 1 + 4 n ) , {\displaystyle {\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+\cdots }}}}}}}}={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {1+4n}}\,),} 同じく n − n − n − n − ⋯ = 1 2 ( − 1 + 1 + 4 n ) {\displaystyle {\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-\cdots }}}}}}}}={\frac {1}{2}}(-1+{\sqrt {1+4n}})} を示すのにも通用する。後者の式は、有理数 x > 0 によって n = x 2 + x {\displaystyle n=x^{2}+x} と表すことのできる任意の n に対して、x を値としてとる。
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