平方根関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/16 00:42 UTC 版)
入力 x に対してその非負の平方根 x {\displaystyle {\sqrt {x}}} を返す函数 f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} を非負実数全体の集合 R+ ∪ {0} 上で定義されていると考えた正の平方根函数 ∙ : R + ∪ { 0 } ∋ x → 1-1,onto x ∈ R + ∪ { 0 } {\displaystyle {\sqrt {\bullet }}\colon \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\ni x\ {\xrightarrow {\text{1-1,onto}}}\ {\sqrt {x}}\in \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}} は（函数として well-defined で）、それ自身への全単射になる。正の平方根函数のグラフと負の平方根函数 − ∙ : R + ∪ { 0 } ∋ x → 1-1,onto − x ∈ R − ∪ { 0 } {\displaystyle {-{\sqrt {\bullet }}}\colon \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\ni x\ {\xrightarrow {\text{1-1,onto}}}\ {-{\sqrt {x}}}\in \mathbb {R} ^{-}\cup \{0\}} のグラフの和集合は、二次函数 y = x2 のグラフと直線 y = x に関して線対称な放物線に等しい。 正の平方根函数 √ は連続かつ x > 0 で微分可能であり、導関数は d d x x = 1 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} 不定積分は ∫ x d x = 2 3 ( x ) 3 + C = 2 3 x 3 2 + C {\displaystyle \int {\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}}({\sqrt {x}})^{3}+C={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+C} （ C は積分定数） で与えられる。また、収束冪級数としての二項展開 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( 1 / 2 n ) x n = 1 + x 2 − x 2 8 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! ( 1 − 2 n ) ( n ! ) 2 ( 4 n ) x n {\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {1/2}{n}}x^{n}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}} が |x| < 1 で成り立つ。 x > 0, 自然数 n に対して帰納的に f n ( x ) = x + x + x + x + . . . {\displaystyle f_{n}(x)={\sqrt {x+{\sqrt {x+{\sqrt {x+{\sqrt {x+...}}}}}}}}} （x および根号の個数は n）と定めると、函数列 (fn) は漸化式 f n + 1 ( x ) 2 = x + f n ( x ) {\displaystyle f_{n+1}(x)^{2}=x+f_{n}(x)} に従い、(fn) は α(x) > 0 に収束するならば α(x)2 − α(x) − x = 0 でなければならないから、 lim n → ∞ f n ( x ) = x + 1 4 + 1 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\sqrt {x+{\frac {1}{4}}}}+{\frac {1}{2}}} が成り立つ。
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