相互律
相互法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/05 05:30 UTC 版)
詳細は「アルティン相互法則」を参照 代数体の任意の有限次アーベル拡大 L/K に対して、この拡大で分岐するすべての（有限及び無限）素点で割り切れる整因子𝔪が存在し、この整因子に対してアルティン写像は全射かつその核はこの拡大の合同群と等しい。したがってアルティン写像から同型 I m / H m ( L / K ) → G a l ( L / K ) {\displaystyle I_{\mathfrak {m}}/H_{\mathfrak {m}}(L/K)\to \mathrm {Gal} (L/K)} が得られる。これをアルティン相互法則（Artin reciprocity law）という。
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相互法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:34 UTC 版)
平方剰余の相互法則は整数 a が奇素数 p を法として平方剰余であるか否かを判定する法則である。 p, q を相異なる奇素数とするときに、 ( p q ) ( q p ) = ( − 1 ) p − 1 2 ⋅ q − 1 2 {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}} が成り立つ。 また、このほかに以下の第1補充法則、第2補充法則が知られている。 第1補充法則: ( − 1 p ) = ( − 1 ) p − 1 2 . {\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}.} 第2補充法則: ( 2 p ) = ( − 1 ) p 2 − 1 8 . {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}.} また、p と互いに素な整数 a, b に対して ( a b p ) = ( a p ) ( b p ) {\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)} が成立する。一般に素数 p に対して Zp× = {1, 2, ..., p − 1} は p を法として乗法に関して群になることが知られているが、この式は Zp× から {−1, 1} への群準同型写像が存在することを示している。よってその写像の核は位数 (p − 1)/2 の部分群となり、Zp× の要素の半分は平方剰余であり、半分は平方非剰余であることが分かる。 この法則は、レオンハルト・オイラーによって予想され、カール・フリードリッヒ・ガウスによって証明された（ガウス日誌によれば、1796年4月8日。発表されたのは1801年の『整数論』において）。ガウスはこの法則に対して生涯で7つ（または8つ）の異なる証明を与えた。その一つの動機は、三次や四次の相互法則を証明することにあった。現在では240以上もの証明が知られている。 三次や四次の相互法則は、ヤコビ、アイゼンシュタインによって独立に証明された（1844年にアイゼンシュタインが証明を公表）。より高次のまた一般的な代数的整数における一般的な相互法則の証明は（ヒルベルトの第9問題）、高木貞治やエミール・アルティンによってなされた。（アルティン相互法則を参照）
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