イデアル (環論)
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抽象代数学の分野である環論におけるイデアル（英: ideal, 独: Ideal）は環の特別な部分集合である。整数全体の成す環における、偶数全体の成す集合や 3 の倍数全体の成す集合などの持つ性質を一般化したもので、その部分集合に属する任意の元の和と差に関して閉じていて、なおかつ環の任意の元を掛けることについても閉じている空でない部分集合をイデアルという。
注釈
- ^ ここで述べる通説には細部において批判的意見も提出されているが、それについては適宜脚注にて記載する。理想数も参照のこと。
- ^ クンマーの主な動機は高次相互法則であり、フェルマーの最終定理ではなかった、という指摘がある。Harold M. Edwards, Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, p. 79, - Google ブックス
- ^ クンマーの論文は「理想数」を「イデアル」に置き換えることで容易に読むことができる、という主張もある。Lemmermeyer, Franz (2011). "Jacobi and Kummer's Ideal Numbers". p. 2. arXiv:1108.6066。また、アンドレ・ヴェイユによれば、クンマーの論文は驚くほど間違いが少ない。Mazur, Barry (1977). page = 980 “Review: André Weil, Ernst Edward Kummer, Collected Papers”. Bulletin of the American Mathematical Society 83 (5): 976–988.
出典
- ^ Lang 2005, Section III.2
- ^ 可換単純環は体である。See Lam (2001), p. 39.
- ^ 高木 1931, pp. 321-323.
- ^ a b 高木 1931, p. 323.
- ^ The Story of Algebraic Numbers in the First Half of the 20th Century: From Hilbert to Tate, p. 43, - Google ブックス
- ^ Dirichlet; Dedekind (1871). Vorlesungen über Zahlentheorie (2 ed.). p. 452
イデアル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/14 17:10 UTC 版)
F を n 変数の多項式の集合 {f1, f2, ... , fr} とするとき、多項式イデアル ⟨F⟩ = ⟨f1, f2, ... , fr⟩ とは、 h 1 f 1 + h 2 f 2 + ⋯ + h r f r {\displaystyle h_{1}f_{1}+h_{2}f_{2}+\cdots +h_{r}f_{r}} の形の多項式全体の集合のことである。ここで hi は任意の多項式を表す。このとき F をイデアル ⟨F⟩ の生成系、あるいは基底と呼ぶ。以下では F から生成されるイデアルを Ideal(F) と表現する。 f 1 = 0 , f 2 = 0 , … , f r = 0 {\displaystyle f_{1}=0,f_{2}=0,\ldots ,f_{r}=0} の解はイデアルの要素全ての共通零点と一致し、イデアルは多変数の連立代数方程式を一般化したものと考えることができる。例えば連立方程式の消去法は与えられた方程式 F のイデアル I から変数の個数が少ないものを選び出す方法と見ることができる。
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イデアル
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元々ヒュッティヒで製造されていた蛇腹カメラで、イカを経てツァイス・イコンになっても引き続いて製造された。高級機。 詳細は「イデアル (カメラ)」を参照
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イデアル
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R の部分集合 I が加法について閉じていて、x ∈ R, y ∈ Iならば xy やyxがかならず I に入っているとき、I を両側イデアルという。（したがって両側イデアルは単位元を持つとは限らない環である。）イデアル I が与えられているとき、x − y ∈ I で R に同値関係を定義することができる。さらに同値類の間に自然な演算を定義できて、環になることが分かる。この環を R の I による剰余環といい、R/I と書く。
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イデアル
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イデアル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:30 UTC 版)
アルティン環の極大イデアルは有限個である。 アルティン環のジャコブソン根基は最大の冪零イデアルである。 アルティン環の素イデアルは極大イデアル（すなわちクルル次元が 0 ）である。特に、可換アルティン環は整域ならば可換体である。
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