例と性質

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例と性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/14 15:42 UTC 版)

「グロモフ・ハウスドルフ収束」の記事における「例と性質」の解説

距離空間の性質のグロモフ・ハウスドルフ極限への遺伝列を構成する空間有界固有コンパクト可分弧長測地固有かつ測地グロモフ・ハウスドルフ極限◯ ◯ ◯ ◯ ◯ × ◯ 基点付きグロモフ・ハウスドルフ極限◯ ◯ ◯ ◯ ◯ × ◯ (Sm , d ) をm次元単位球面としたとき、{Sm , n·d }n ∈ N はグロモフ・ハウスドルフ収束しないが、m次元ユークリッド空間 Em に基点付きグロモフ・ハウスドルフ収束している。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/03 05:45 UTC 版)

「可算集合」の記事における「例と性質」の解説

無限集合においては、その真部分集合と濃度が等しいことがあり得る。例えば、偶数の自然数全体の集合 2N は N との間に次の全単射が存在する。 f : N ∋ n ↦ 2 n ∈ 2 N . よって、2N は可算集合である。また、整数全体の集合 Z や有理数全体の集合 Q も可算である。しかし、実数全体の集合 R は非可算である。この事実はカントールの対角線論法によって示される。R の濃度は連続体濃度と呼ばれ、 ℵ または c で表される。 選択公理を認めるならば、可算濃度は無限集合の濃度のうち最小のものであることが示される。可算濃度と連続体濃度の間に他の濃度が存在するか否かは、ZFC とは独立であり、通常は存在しないと仮定する。この仮定を連続体仮説という。 可算個の可算集合の和集合や、有限個の可算集合の直積集合はまた可算である。これより、代数的数全体の集合 Q は可算であることが従う。しかし、可算個の可算集合の直積集合や、可算集合の冪集合は非可算であり、その濃度は連続体濃度である。 可算個の可算集合の直積集合の濃度は、濃度不等式 2 ℵ 0 ≤ ℵ 0 ℵ 0 ≤ ( 2 ℵ 0 ) ℵ 0 = 2 ℵ 0 によって、 ℵ と等しいことが示される。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/09 05:19 UTC 版)

「素イデアル」の記事における「例と性質」の解説

有理整数環 Z において、素数 p の倍数全体が成すイデアル pZ は素イデアルである。 一般に、可換環 R において、その素元 p が生成するイデアル pR は 0 でない素イデアルになる。これは逆も正しい。すなわち、p ∈ R に対し単項イデアル pR ≠ 0 が素イデアルならば、p は素元である。 一般に、R, S を可換環、f: R → S を環の準同型としたとき、f による S の任意の素イデアルの引き戻し f−1(S) は、R の素イデアルになる。 可換環 R のイデアル I が素イデアルであることと、剰余環 R/I が整域であることは同値である。とくに、0 が素イデアルであることと R が整域であることは同値である。 デデキント整域のすべての 0 でない真のイデアルは、素イデアルの積に一意的に分解する。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/14 14:14 UTC 版)

「超フィルター」の記事における「例と性質」の解説

全順序集合は超フィルターを持つのは最小元を持つときに限り、そのとき最小元を 0 とすると唯一の超フィルターは {x : 0 < x} と表せる。 最小元 0 を持った束 L の元 x が原子元（つまり L ∖ {0} の極小元）のとき x で生成される単項フィルター (x) := {y ∈ F : x ≤ y} が超フィルターになる（束では単項フィルターが超フィルターになるのはこの時に限る）。 無限集合 X の補有限部分集合全体 Pfin(X) := {A ⊆ X : |X ∖ A| ≤ ∞} は最小元を持たない分配束となる。U を Pfin(X) の超フィルターとするとある x ∈ X が存在して、U = {A : {x} ⊆ A} とかける。これは Pfin(X) 上の単項フィルターではない。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/11/08 13:35 UTC 版)

「多凸函数」の記事における「例と性質」の解説

多凸性は、凸性よりも弱い性質である。例えば、次で与えられる函数 f は多凸であるが、凸ではない。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/09/11 13:51 UTC 版)

「点列コンパクト空間」の記事における「例と性質」の解説

実数全体の成す集合に通常の位相を考えた空間は点列コンパクトでない。実際、任意の自然数 n に対し sn = n で定義される数列 (sn) はどのような部分列も極限は無限大となって収斂しない。 考える空間が距離空間ならば、それが点列コンパクトとなるための必要十分条件はその空間がコンパクトになることである。しかし一般の位相空間の中には点列コンパクトだがコンパクトでないようなもの（例えば最小の非可算順序数に順序位相を入れたもの）、および点列コンパクトでないコンパクト空間（例えば単位閉区間の非可算個のコピーの積空間）が存在する。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/22 20:15 UTC 版)

「準素イデアル」の記事における「例と性質」の解説

定義から明らかに素イデアルは準素イデアルである。 素元分解整域において、素元 p のべき pn で生成されたイデアル (pn) は準素イデアルである（たとえば有理整数環；右図参照）。 ネーター環の任意のイデアルは、有限個の準素イデアルの共通部分として書ける（準素分解）。 デデキント環の準素イデアルは素イデアルのべきである。 準素イデアルの根基は素イデアルである。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 18:50 UTC 版)

「有界」の記事における「例と性質」の解説

実数からなる開区間 (a, b) や閉区間 [a, b] は（通常の実数の大小関係に関する）順序集合としても（通常のユークリッド距離に関する）距離空間としても有界である。 実数からなる集合（実数全体の成す集合 R の部分集合）が有界ならば、それを含む有界区間が存在する。 一般に、Rn に大小関係の直積順序と通常のユークリッド距離を入れて考えるとき、Rn の部分集合 S がこの順序に関して有界となることとこの距離に関して有界となることとは等価である。 実数全体 R は有界ではない（アルキメデス性）。 R の空でない有界集合は上限（最小上界）と下限（最大下界）を持つ。 ユークリッド空間 Rn の有界集合は全有界である。とくにRn の有界集合はそれが閉集合ならばコンパクトである。一般に完備距離空間の全有界部分集合はコンパクトになる。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/08 06:00 UTC 版)

「基本アーベル群」の記事における「例と性質」の解説

基本アーベル群 (Z/2Z)2 は四つの元 {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} からなる。加法は成分ごとに mod 2 で計算すればよい（例えば (1, 0) + (1, 1) = (0, 1)）。実はこれはクラインの四元群である。 （必ずしも有限でない）集合の対称差によって生成される群は、任意の元が位数 2 である。そのような群は、任意の元が自身を逆元に持つからアーベル群でなければならない: xy = (xy)−1 = y−1x−1 = yx。そのような群（つまりブール群）はクラインの四元群の成分数を任意個にした一般化である。 (Z/pZ)n は n 元で生成され、n は生成に必要な元の最低個数である。特に、集合 {e1, …, en} を各 ei は第 i-成分が 1 でそのほかの成分が 0 のベクトルとすれば、これは極小生成系を成す。 任意の基本アーベル群は極めて単純な有限表示を持つ: ( Z / p Z ) n ≅ ⟨ e 1 , … , e n ∣ e i p = 1 ,   e i e j = e j e i ⟩ .

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/24 09:36 UTC 版)

「辺推移グラフ」の記事における「例と性質」の解説

完全2部グラフ K m , n や、対称グラフ（例えば立方体の頂点と辺から成るようなグラフ）は、どのようなものであっても辺推移グラフである。対称グラフは（連結であれば）頂点推移的であるが、一般的に、辺推移グラフが頂点推移的であるとは限らない。グレイグラフ（英語版）はそのように辺推移的であるが頂点推移的でないグラフの例である。そのようなグラフは全て2部グラフであり、したがって2色のみを使って彩色することが出来る。 正則であるが頂点推移的でないような辺推移グラフは、半対称グラフと呼ばれる。そのような例として、グレイグラフ（英語版）が再び挙げられる。すべての辺推移グラフは必ず2部グラフであり、また、半対称であるか双正則（英語版）であるかのいずれかである。