デデキント環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/17 03:23 UTC 版)
デデキント環（デデキントかん、Dedekind ring）、あるいはデデキント整域（デデキントせいいき、Dedekind domain）とは、任意の0でない真のイデアルが、有限個の素イデアルの積にかけるような整域のことである。そのような分解は一意であることが知られており、イデアル論の基礎定理と呼ばれる。
定義
体でない整域 R について、以下の条件は同値である。
- Rの任意の0でない真のイデアルは、有限個の素イデアルの積にかける。
- R はネーター環で、クルル次元が1で、正規である。
- R の任意の0でない分数イデアルは可逆である。
- R はネーター環で、任意の極大イデアルにおける局所化は離散付値環（DVR）である。
デデキント環とは、上記条件の1つ、従ってすべてを満たすような整域のことである。体については、デデキント環に含める場合と含めない場合がある。
例
加群の構造
デデキント環 R 上の有限生成加群 M の構造は次の様になる[1]。有限生成加群 M に対して、ある零でない整イデアルの列 I1 ⊆ … ⊆ In と階数有限の自由加群 F、可逆イデアル I が存在して同型
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