準素イデアル

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準素イデアル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/22 20:15 UTC 版)

可換環論において、準素イデアル（英: primary ideal）とは、可換環 A の真のイデアル Q であって、xy が Q の元かつ x が Q の元でないとき、ある自然数 n > 0 が存在して yⁿ が Q の元となるようなイデアルのことである。言い換えると、剰余環の任意の零因子がべき零となるような（真の）イデアルのことである。

例と性質

有理整数環 Z のイデアルがなす束の一部。紫色または水色のイデアルは準素イデアル。

• 定義から明らかに素イデアルは準素イデアルである。
• 素元分解整域において、素元 p のべき pⁿ で生成されたイデアル (pⁿ) は準素イデアルである（たとえば有理整数環；右図参照）。
• ネーター環の任意のイデアルは、有限個の準素イデアルの共通部分として書ける（準素分解）。
• デデキント環の準素イデアルは素イデアルのべきである。
• 準素イデアルの根基は素イデアルである。

参考文献

• 堀田, 良之 『可換環と体』 岩波書店、2006年。ISBN 4-00-005198-9。

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準素イデアル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/21 08:06 UTC 版)

「イデアル (環論)」の記事における「準素イデアル」の解説

イデアル I が準素イデアル (primary ideal) とは、R の元 a, b が ab ∈ I を満たすとき、a ∉ I ならば bn ∈ I が適当な正の整数 n に対して成り立つことを言う。任意の素イデアルは準素イデアルだが逆は必ずしも成り立たない。半素な準素イデアルは素イデアルである。