基本定理から得られる結果
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/22 09:24 UTC 版)
「次元論 (代数学)」の記事における「基本定理から得られる結果」の解説
( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} をネーター局所環とし、 k = R / m {\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}} とおく。すると、 dim R ≤ dim k m / m 2 {\displaystyle \operatorname {dim} R\leq \operatorname {dim} _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}} , なぜならば m / m 2 {\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}} の基底は中山の補題によって m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} の生成集合に持ちあがるからである。等号が成り立つならば、R は正則局所環と呼ばれる。 dim R ^ = dim R {\displaystyle \operatorname {dim} {\widehat {R}}=\operatorname {dim} R} , なぜならば gr R = gr R ^ {\displaystyle \operatorname {gr} R=\operatorname {gr} {\widehat {R}}} . （クルルの単項イデアル定理）ネーター環において元 x 1 , … , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} で生成されるイデアルの高さは高々 s である。逆に、高さ s の素イデアルは s 個の元で生成できる。（証明： p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} をそのようなイデアルの上にある極小素イデアルとする。すると s ≥ dim R p = ht p {\displaystyle s\geq \operatorname {dim} R_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}} である。逆は基本定理の証明の途中で示されている。） A → B {\displaystyle A\to B} がネーター局所環の射であれば、 dim B / m A B ≥ dim B − dim A {\displaystyle \operatorname {dim} B/{\mathfrak {m}}_{A}B\geq \operatorname {dim} B-\operatorname {dim} A} である。等号は A → B {\displaystyle A\to B} が平坦であれば、あるいはもっと一般的に上昇定理が成り立てば、成り立つ。（ここで、 B / m A B {\displaystyle B/{\mathfrak {m}}_{A}B} は特別ファイバー（英語版）と考える。） 証明： x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} が m A {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}} -準素イデアルを生成するとし、 y 1 , … , y m {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}} をそれらの像が m B / m A B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}/{\mathfrak {m}}_{A}B} -準素イデアルを生成するようなものとする。するとある s について m B s ⊂ ( y 1 , … , y m ) + m A B {\displaystyle {{\mathfrak {m}}_{B}}^{s}\subset (y_{1},\dots ,y_{m})+{\mathfrak {m}}_{A}B} である。両辺を何乗かすることにより、 m B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}} のあるベキが ( y 1 , … , y m , x 1 , … , x n ) {\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{m},x_{1},\dots ,x_{n})} に含まれることがわかる。すなわち、後者のイデアルは m B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}} -準素である。したがって、 m + n ≥ dim B {\displaystyle m+n\geq \dim B} である。等号については going-down property から直ちに従う。 R がネーター局所環であれば、 dim R [ x ] = dim R + 1 {\displaystyle \dim R[x]=\dim R+1} . 証明： p 0 ⊊ p 1 ⊊ ⋯ ⊊ p n {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}} が R の素イデアルの鎖であれば、 p i R [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}R[x]} は R [ x ] {\displaystyle R[x]} の素イデアルの鎖であるが、 p n R [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{n}R[x]} は極大イデアルではない。したがって、 dim R + 1 ≤ dim R [ x ] {\displaystyle \dim R+1\leq \dim R[x]} である。逆向きの不等号を言うために、 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} を R [ x ] {\displaystyle R[x]} の極大イデアルとし、 p = R ∩ q {\displaystyle {\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {q}}} とする。 R [ x ] / p R [ x ] = ( R / p ) [ x ] {\displaystyle R[x]/{\mathfrak {p}}R[x]=(R/{\mathfrak {p}})[x]} は単項イデアル整域であるので、前の不等式によって 1 + dim R ≥ 1 + dim R p ≥ dim R [ x ] q {\displaystyle 1+\operatorname {dim} R\geq 1+\operatorname {dim} R_{\mathfrak {p}}\geq \operatorname {dim} R[x]_{\mathfrak {q}}} を得る。 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} は任意だったので、このことより 1 + dim R ≥ dim R [ x ] {\displaystyle 1+\operatorname {dim} R\geq \operatorname {dim} R[x]} である。
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