代数的整数と代数的整数論とは? わかりやすく解説

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代数的整数と代数的整数論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/07/18 03:21 UTC 版)

合同算術」の記事における「代数的整数と代数的整数論」の解説

詳細は「代数的整数論」を参照 合同算術フェルマーの大定理分析するためのよい枠組み与えた。しかし、n が 10 より大きいとき、ガウスの方法準じて構成される代数的整数の環を、ディリクレobstruction(邪魔なもの)と呼んだ。これらの整数環ではその(乗法逆元を持つ元全体の成す)単数群が、ガウス研究とは異なり、もはや巡回群有限アーベル群ではないことが示せる。それは整数加法群コピー含み、無限群である。この結果ディリクレの単数定理呼ばれるこのような新し状況では、付随する環がユークリッド環でないため、ガウス整数用いた合同算術道具使えないという障害 (obstruction) を生じる。 素数存在しない環における素数代替として、エルンスト・クンマーは、今日ではイデアル用いて定式化される商の一般化に関する道具用いた代数的整数論ではそれまで異ないくつかの手法取り入れられる基本的な道具は、その元が代数的整数呼ばれデデキント環呼ばれる構造を持つ環である。クンマーは n が正則素数呼ばれる特定の種類素数であるときのフェルマーの大定理証明した100 以下の値でこれに相当しないものは 37, 59, 67三つのみである。 そのほか道具数学的対象としては、アデール環ガロワ理論の各概念楕円曲線ディリクレの L-級数モジュラー形式などが挙げられる有限体などの合同算術にほぼ由来するいくつかの概念20世紀においても広く用いられ、ときどき同様の手法そのまま使うことはあるけれども、代数的整数論合同算術範囲大きく超えた分野である。

※この「代数的整数と代数的整数論」の解説は、「合同算術」の解説の一部です。
「代数的整数と代数的整数論」を含む「合同算術」の記事については、「合同算術」の概要を参照ください。

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